Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Pessoal, bom dia

Primeiramente queria me desculpar se a perguntar foi muito boba...rs
Vamos lá...

Geralmente, quando quero calcular a média geométrica da taxa de retorno eu utilizo a seguinte fórmula
((i₁+1) *(i₂+1)*(in+1)) ^(1/n)-1
Ou seja, o produto das taxas elevado a 1 sobre n
Pegando um exemplo com as taxas (50%,80% e 30%)
(3,51)^(1/3)-1 = 0,519739106... ou 51,97%

Porém, devido a algumas limitações de promoção, não pude utilizar o cálculo dessa forma e busquei na internet soluções.
Cheguei em outra fórmula, seria: Constante e(euler) elevado a média do log natural de cada uma das taxas, ou seja:
e^(Σ(1+i)/n)-1

Pegando o mesmo exemplo:

i+1 LN
1,5 0,405465108
1,8 0,587786665
1,3 0,262364264

Média 0,418538679
e^média-1 0,519739106... ou 51,97

MINHA DÚVIDA É:
Eu entendo o conceito de LN e de EXP (e^x), porém, eu não entendi
como pode dar o mesmo valor na segunda opção, qual é o raciocínio por trás.
Enfim, a segunda forma de fazê-lo tem me ajudado, mas não gosto de utilizar algo sem entender o porquê

Se alguém puder me ajudar a entender, agradeço
E mais uma vez desculpa se a perguntar foi tola

Abs,

O logaritmo do produto é a soma dos logaritmos e as potências passam para fora dos logaritmos a multiplicar... Assim
\(\log\left( (i_1+1)(i_2+1) \cdots (i_n+1)\right)^{1/n}= \frac 1n \left(\log(i_1+1) + \log(i_2+1) + \cdots +\log(i_n+1) \right)\)

Dito de outro modo, o logaritmo da média geométrica é a média aritmética dos logaritmos. Aplicando a exponencial a ambos os lados da igualdade anterior, obtemos

\(\left( (i_1+1)(i_2+1) \cdots (i_n+1)\right)^{1/n}= e^{\frac 1n \left(\log(i_1+1) + \log(i_2+1) + \cdots +\log(i_n+1) \right)}\)

Muito obrigado

Graças a você entendi o raciocínio. Como o meu impeditivo era realizar o produto, a solução que me deram era somar os logaritmos e depois elevar a base pela soma para encontrar o produto. Como meu objetivo era encontrar a média geométrica, ou seja, elevar a 1/n, ao invés de elevar a base pela soma, eu elevaria pela média dos logs, resultando já na minha média geométrica.

muitíssimo obrigado!!