Valor de x.y de log de x e log de y

[matematicaajuda]

O valor de x.y com x e y pertencentes aos inteiros, sabendo que log x na base 2 + log de y na base 4=2 e 2^x+y=32, é igual a:

A.()4
B.()8
C.()2
D.()6
E.()10

desculpa por não colocar os log bonitinhos é que eu não consigo por, obg pela compreensão.

[jorgeluis]

matematicaajuda,

\(\left.\begin{matrix}
log_{2}x & +log_{4}y & =2\\
& 2^{x+y} & =32
\end{matrix}\right\}\)
mudança de base:
\(log_{4}y=\frac{log_{2}y}{log_{2}4}
\frac{log_{2}y}{2}\)

\(\left.\begin{matrix}
2log_{2}x & +log_{2}y & =4\\
& 2^{x+y} & =32
\end{matrix}\right\}\)

\(\left.\begin{matrix}
log_{2}x^2 & +log_{2}y & =4\\
& 2^{x+y} & =2^5
\end{matrix}\right\}\)

\(log_{2}x^2 +log_{2}y=4
log_{2}(x^2.y)=4
log_{2}(x.y^{\frac{1}{2}})^2=4
2log_{2}(x.y^{\frac{1}{2}})=4
x.\sqrt{y}=2\)

\(como,
2^{x+y}=32
2^{x+y}=2^5
x+y=5
e
y\in \mathbb{Z}
entao,\)
solução possível:
\((1,4)\)

[simarchetto]

Nessa questão de Logaritmos que caiu no vestibular 2017/2 da Udesc, o 2 de "2^x+y=32" está elevado ao (x+y) então seria "2^(x+y) = 32" ou seja x+y = 5. Gostaria de ver a resolução dela agora com as informações corrigidas. Obg

[jorgeluis]

simarchetto,
já corrigi.