Duas inequações com exponenciais 12ºano

[AqwAdventurer]

Resolva, em R, cada uma das seguintes inequações:

a) (7^x)-8≤-7^(-x+1)

b) e^(8x+2)≥(1/e)^(3x²-5)



*não existem "()" em nenhuma das questões.

[Rui Carpentier]

Sugestão: reduza as inequações dadas para inequações quadráticas. Na primeira faça a substituição \(y=7^x\) (note que \(7^{-x+1}=7/y\)) e na segunda use o factos de \((1/e)^u=e^{-u}\) e \(e^a\ge e^b \Rightarrow a\ge b\).

[AqwAdventurer]

Tens toda a razão, na a) tentei fazer a mudança de variável de duas formas (ambas para \(7^x\)) mas não via forma de fazer a mudança para 7^(-x+1).
Numa das tentativas eu:

1. Separei \(-x+1\) em \(7^-^x^+^1\) para \((7^-^x\) x\(7)\)

2. Transformei \(7^-^x\) para \((1/7)^x\)

3. Fazia a multiplicação \((1/7)^x\) x\(7\) para \((7/7)^x\) ou \(1^x\) e via que não ia a lado nenhum.
Agora é obvio onde está o erro!

Agora fica \(y.(y-8)+7\) ≤ \(0\) .... \(y^2-8y+7\) ≤ \(0\) .... \(y=7\) ⋀ \(y=1\) ... \(x=1\) ⋀ \(x=0\) ficando com a resposta \(S=[0,1]\)


Já na b) ainda não cheguei à resposta.
Quando chego a \(8x+2\) ≥ \(-3x^2+5\) passo tudo para o 1º membro ficando com \(3x^2+8x-3\) ≥ \(0\) mas nâo chego à solução dada que é \(S=]-\)∞\(,-3]\) U \([1/3,+\)∞\([\)

[Rui Carpentier]

(...)
Já na b) ainda não cheguei à resposta.
Quando chego a \(8x+2\) ≥ \(-3x^2+5\) passo tudo para o 1º membro ficando com \(3x^2+8x-3\) ≥ \(0\) mas nâo chego à solução dada que é \(S=]-\)∞\(,-3]\) U \([1/3,+\)∞\([\)

Não chega à solução porquê? Os zeros de \(3x^2+8x-3\) são de facto -3 e 1/3 e como o coeficiente de grau dois é positivo isso significa que \(3x^2+8x-3\) é negativo entre -3 e 1/3 e positivo ou nulo (isto é \(\ge 0\)) fora desse intervalo, ou seja, no conjunto \(S=]-\infty ,-3]\cup [1/3,+\infty [\).

PS- Desculpe o atraso na resposta, mas só hoje é que vi a sua mensagem.