O inverso de (x-1)/3 é 3/(x-1)

O inverso de 1/(x+1) é (x+1)/1=(x+1)

lembre-se que o inverso de qq número \(x\) é \(1/x\)

logo basta resolver

\(\frac{3}{x-1}<x+1\)

\(\frac{3}{x-1}<x+1\)

Agora a questão é interessante

Vc tem que multiplicar dos dois lados por \(x-1\)

o que sucede é que \(x-1>0\) só para \(x>1\) e é menor que zero para \(x<1\), então

\(\frac{3}{x-1}<x+1\)

é equivalente a (multiplicando \(x-1\) dos dois lados)

\(3<(x+1)(x-1)\)

APENAS quando \(x>1\)

quando \(x<1\) (como multiplica uma inequação por um número negativo) o sinal troca, ou seja

\(3>(x+1)(x-1)\) para \(x<1\)


Ou seja escrever

\(\frac{3}{x-1}<x+1\)

é equivalente a escrever

\(\left\{\begin{matrix} 3<(x+1)(x-1) \ , \ x\geq 1\\ 3>(x+1)(x-1) \ , \ x<1 \end{matrix}\right.\\ \\ \left\{\begin{matrix} x^2>4 \ , \ x\geq 1\\ x^2<4 \ , \ x<1 \end{matrix}\right.\)

consegue avançar???
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\(\left\{\begin{matrix} 3<(x+1)(x-1) \ , \ x\geq 1\\ 3>(x+1)(x-1) \ , \ x<1 \end{matrix}\right.\\ \\ \left\{\begin{matrix} x^2>4 \ , \ x\geq 1\\ x^2<4 \ , \ x<1 \end{matrix}\right\)

daqui vc pode dividir em dois

\(x^2>4 \wedge x>1 \Leftrightarrow x>2\)

\(x^2<4 \wedge x<1 \Leftrightarrow -2<x<1\)

fazendo a união dos dois conjuntos

\(x \in ]-2,1[ \cup ]2,+\infty[\)

logo o menor inteiro dá-me \(-1\)
(posso ter falhado nas contas)