Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Ola.

Estava resolvendo alguns exercícios em um site e acertando todos, até que errei esse aqui:
\(2^2^3^x = 256\) - não consegui expressar corretamente, NÃO é 2 elevado a 23x e SIM 2 elevado ao quadrado, elevado ao cubo, elevado a "x", ou seja, são três níveis de expoente (2,3 e x)

Segundo a resolução do site, a resposta seria "1". Porém minha resposta foi "1,333...".

Bom, para tirar a duvida fiz a conta na calculadora cientifica e percebi que, com a minha resposta a igualdade se tornaria verdadeira, ou seja, a resposta do site estaria errada.

Pergunta: Qual a resposta correta da equação acima?

Será isto meu caro ??

\(2^{2^{3^x}}=256\)

Repare que quando \(x=1\) sucede que \(3^1=3\) então

\(2^{2^{3}}=2^{8}=256\) logo \(x=1\) é solução

não sei onde foi buscar 1,3(3) mas não é solução...

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Mestre João, a dúvida do dr.ederson é mesma que a minha. Ele achou 1,333 porque ele fez o seguinte:

\({{2^2}^3}^x=256\)

Multipliquei todos os expoentes de 2, incluindo o 'x'.

Daí fiz

\(2^{6x}=256\)

Isto, na minha concepção, levaria a

\(2^{6x}=2^8\)

de modo que

\(6x=8\)

e que, portanto,

\(x=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}=1,3333...\)

Num outro exemplo numérico, para ver como funciona a regra, suponhamos

\({{3^3}^2}^2=531441\)

Achei este valor porque fiz

\(3^3=27\)

\(27^2=729\)

\(729^2=531441\)

o que equivale a manter a base e multiplicar todos os expoentes:

\(3^{12}=531441\)

Pelo que entendi de sua explicação, teria feito o primeiro expoente da base 2 (o número 2), servir de base para o expoente 3 e aí a base inicial 2 estaria elevada a 8, ficando

\(2^{2^3}=2^8\)

Foi assim?

Ajuda aí, Mestre João.

Abração
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Exatamente como falou o Mauro. Irei postar as 2 soluções e os 2 resultados diferentes.
Minha solução
\(2^{2^{3^{x}}}\)=\(2^{8}\)

Igualando os expoentes:
\(2.3.x = 8
6x=8
x=\frac{8}{6}
x=1,333...\)
- meu resultado
----------------------------------------------------------
Solução do site
\(2^{2^{3^{x}}}\)=\(2^{8}\)
cortaram as bases ("2") ficou assim
\(2^{3^{x}}=8\)
\(2^{3^{x}}=2^{3}\)
cortaram as bases de novo ("2") ficou assim
3x = 3
x = 1 - resultado do site
----------------------------------------------------------

Bom, como eu disse, se fizer na calculadora cientifica o resultado correto é o 1,3333....
A diferença nas soluções é que eles cortaram as bases e tal. Vamos chamar esse tipo de coisa de "atalhos matemáticos". Sei que a matemática tem muitos desses "atalhos" para AGILIZAR a conta.
O que eu percebi até hoje é que sem usar esses atalhos a conta demora mais, mas SEMPRE dá o mesmo resultado que usando eles.
Minhas perguntas são: Pq cheguei a um resultado diferente, pq a resposta é "1" se quando eu faço na calculadora a conta (original) só fecha com 1,333... e (caso exista) onde esta meu erro?

Obrigado pela atenção.

Caros, cometem um erro muito comum

\(2^{2^3} \neq (2^2)^3\)

ora então

\(2^{2^3}=2^{(2^3)}=2^8=256\)

aqui não se pode aplicar a regra da "multiplicação dos expoentes"

Neste outro caso

\((2^2)^3=4^3=64\)

aqui pode-se aplicar a regra da "multiplicação dos expoentes"

\((2^2)^3=2^{2.3}=2^6=64\)

qq dúvida digam

Abraços

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João Pimentel Ferreira
 
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Mestre João, então o problema é de como se faz a expressão? A notação é que nos trai?

Se o problema é como penso de notação, como se faria a notação correta para que não haja má interpretação?

Grato mais uma vez,

abração
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Caro Mauro, quando não há parêntesis entende-se sempre que não se pode fazer a "multiplicação dos expoentes" ou seja, a notação é que

\(2^{2^{3^4}}=2^{(2^{(3^4)})}\)

ou seja, quando não há parêntesis subentende-se que se começa por fazer sempre primeiro os expoentes que estão "no topo"

Abraços

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João Pimentel Ferreira
 
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Muito obrigado, Mestre João.

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Mauro Trerotola
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Sempre às ordens caro amigo

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opa...fiquei um tempinho fora e não pude responder antes...
Mas perfeito, acompanhei as respostas e agora todas as minhas duvidas foram sanadas.

Muito obrigado.