| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Sistema de equação exponencial https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=72&t=3669 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | ElielVeigadaSilva [ 22 set 2013, 12:33 ] |
| Título da Pergunta: | Sistema de equação exponencial |
1) sistema: \(x^y=y^x\) \(x^m=y^n\) como resolver este sistema? |
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 22 set 2013, 19:24 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sistema de equação exponencial |
ElielVeigadaSilva Escreveu: 1) sistema: \(x^y=y^x\) \(x^m=y^n\) como resolver este sistema? Aplicando a função logaritmo dos dois lados, talvez dê \(\log(x^y)=\log(y^x)\) \(\log(x^m)=\log(y^n)\) \(y\log(x)=x\log(y)\) \(m\log(x)=n\log(y)\) \(y/x=\log(y)/\log(x)\) \(m/n=\log(y)/\log(x)\) \(y/x=m/n\) |
|
| Autor: | ElielVeigadaSilva [ 23 set 2013, 16:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sistema de equação exponencial |
João P. Ferreira Escreveu: ElielVeigadaSilva Escreveu: 1) sistema: \(x^y=y^x\) \(x^m=y^n\) como resolver este sistema? Aplicando a função logaritmo dos dois lados, talvez dê \(\log(x^y)=\log(y^x)\) \(\log(x^m)=\log(y^n)\) \(y\log(x)=x\log(y)\) \(m\log(x)=n\log(y)\) Boa tarde. O livro trás a seguinte resposta: {(n/m)^n/n-m} \(y/x=\log(y)/\log(x)\) \(m/n=\log(y)/\log(x)\) \(y/x=m/n\) |
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 23 set 2013, 16:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sistema de equação exponencial |
Mas eu não percebi o que vc queria achar. Seria o \(x\) e o \(y\) ??? |
|
| Autor: | ElielVeigadaSilva [ 23 set 2013, 17:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sistema de equação exponencial |
João P. Ferreira Escreveu: Mas eu não percebi o que vc queria achar. Seria o \(x\) e o \(y\) ??? O exercícios pede a solução do sistema. Obrigado. |
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 23 set 2013, 19:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sistema de equação exponencial |
Então agora é só continuar para achar \(x\) e \(y\) \(y/x=\log(y)/\log(x)\) \(m/n=\log(y)/\log(x)\) \(y/x=m/n\) Então \(y=m/n.x\) \(x=n/m.y\) da 1ª \(y/x=\log(m/n.x)/\log(n/m.y)\) \(y(\log(n/m.y))=x.\log(m/n.x)\) lembre-se que \(\log(a^b)=b\log(a)\) \(\log((n/m.y)^y)=\log((m/n.x)^x)\) eliminado os logaritmos \((n/m.y)^y=(m/n.x)^x\) \((n/m)^y.y^y=(m/n)^x.x^x\) \((n/m)^{y-x}=\frac{x^x}{y^y}\) ando aqui às voltas, mas há de ser de uma destas maneiras.... |
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 23 set 2013, 20:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sistema de equação exponencial |
Voltando à carga \(\frac{y}{x}=\frac{m}{n}\) \(\frac{y}{x}-\frac{x}{x}=\frac{m}{n}-1\) \(\frac{y-x}{x}=\frac{m}{n}-1\) \(\frac{y-x}{x}=\frac{m-n}{n}\) \(y-x=\frac{x.(m-n)}{n}\) substituindo no resultado de há pouco \((\frac{n}{m})^{\frac{x.(m-n)}{n}}=\frac{x^x}{y^y}\) \(\left((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}\right)^x=\frac{x^x}{y^y}\) aplicando \(\log\) dos dois lados \(\log\left(\left((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}\right)^x\right)=\log\left(\frac{x^x}{y^y}\right)\) lembre-se que \(\log(a^b)=b\log(a)\) e que \(\log(a/b)=\log(a)-\log(b)\) \(x\log\left((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}\right)=\log\left(x^x\right)-\log\left({y^y}\right)\) \(x\log\left((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}\right)=x\log\left(x\right)-y\log\left({y}\right)\) dividindo tudo por \(x\) \(\log\left((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}\right)=\log\left(x\right)-\frac{y}{x}\log\left({y}\right)\) sabemos que \(y/x=m/n\) \(\log\left((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}\right)=\log\left(x\right)-\frac{m}{n}\log\left({y}\right)\) aplicando \(e^{f(x)}\) dos dois lados \((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}=\frac{x}{y^{m/n}}\) andei aqui às voltas mas acho que já tem o que quer |
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|