Soma das raízes: (x² + 5x + 5)^{x² - 10x + 21} = 1

[danjr5]

Encontre a soma de todas as soluções para a equação \((x^2 + 5x + 5)^{x^2 - 10x + 21} = 1\)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 10

[danjr5]

Reais ou complexas (não me vou concentrar nesta última agora).

Reais:

Para que um número levantado a um expoente seja igual a 1, ou a base é 1 ou o expoente é 0.
BASE = 1
\(x^2 + 5x + {5}={1} \Leftrightarrow x=\frac{-5 \pm \sqrt{5^2-16}}{2}\)
\(x=\frac{-5 \pm 3}{2}\)
\(x=-1\) ou \(x=-4\)


Ou seja, daqui são duas soluções

EXPOENTE = 0
\(x^2-10x+{21}={0}\)
\(x=\frac{10 \pm \sqrt{100-84}}{2}\)
\(x=\frac{10 \pm 4}{2}\)
\(x=3\) ou \(x=7\)

soma
------
-1-4+3+7=5

Editado pela última vez por danjr5 em 18 nov 2013, 00:23, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar LaTeX

[danjr5]

Olá José Sousa,
boa noite!
De início, também havia concluído dessa forma, porém, nos esquecemos da base \(- 1\) (expoente par)!

[josesousa]

É verdade.

Então base = -1 dá-nos x=-2 ou x=-3

Para x=-2, temos expoente = 4+20+21 = 45 que é ímpar, logo não serve esta solução

Para x=-3, temos expoente = 9+30+21= 60, serve

Logo x=-3 também é solução e a soma de todas as soluções possíveis é 2.

Bravo caro amigo! É sempre bom resoler estes problemas para alertar a mente para estes raciocínios que necessitam algum cuidado!

Saudações Pitagóricas!