Sistema de equação exponencial

[ElielVeigadaSilva]

1) sistema:
\(x^y=y^x\)
\(x^m=y^n\)

como resolver este sistema?

[João P. Ferreira]

1) sistema:
\(x^y=y^x\)
\(x^m=y^n\)

como resolver este sistema?

Aplicando a função logaritmo dos dois lados, talvez dê

\(\log(x^y)=\log(y^x)\)
\(\log(x^m)=\log(y^n)\)

\(y\log(x)=x\log(y)\)
\(m\log(x)=n\log(y)\)

\(y/x=\log(y)/\log(x)\)
\(m/n=\log(y)/\log(x)\)

\(y/x=m/n\)

[ElielVeigadaSilva]

1) sistema:
\(x^y=y^x\)
\(x^m=y^n\)

como resolver este sistema?

Aplicando a função logaritmo dos dois lados, talvez dê

\(\log(x^y)=\log(y^x)\)
\(\log(x^m)=\log(y^n)\)

\(y\log(x)=x\log(y)\)
\(m\log(x)=n\log(y)\)

Boa tarde.
O livro trás a seguinte resposta:
{(n/m)^n/n-m}


\(y/x=\log(y)/\log(x)\)
\(m/n=\log(y)/\log(x)\)

\(y/x=m/n\)

[João P. Ferreira]

Mas eu não percebi o que vc queria achar.

Seria o \(x\) e o \(y\) ???

[ElielVeigadaSilva]

Mas eu não percebi o que vc queria achar.

Seria o \(x\) e o \(y\) ???

O exercícios pede a solução do sistema.
Obrigado.

[João P. Ferreira]

Então agora é só continuar para achar \(x\) e \(y\)

\(y/x=\log(y)/\log(x)\)
\(m/n=\log(y)/\log(x)\)
\(y/x=m/n\)

Então

\(y=m/n.x\)
\(x=n/m.y\)

da 1ª
\(y/x=\log(m/n.x)/\log(n/m.y)\)
\(y(\log(n/m.y))=x.\log(m/n.x)\)

lembre-se que \(\log(a^b)=b\log(a)\)

\(\log((n/m.y)^y)=\log((m/n.x)^x)\)

eliminado os logaritmos

\((n/m.y)^y=(m/n.x)^x\)

\((n/m)^y.y^y=(m/n)^x.x^x\)


\((n/m)^{y-x}=\frac{x^x}{y^y}\)


ando aqui às voltas, mas há de ser de uma destas maneiras....

[João P. Ferreira]

Voltando à carga

\(\frac{y}{x}=\frac{m}{n}\)

\(\frac{y}{x}-\frac{x}{x}=\frac{m}{n}-1\)

\(\frac{y-x}{x}=\frac{m}{n}-1\)

\(\frac{y-x}{x}=\frac{m-n}{n}\)

\(y-x=\frac{x.(m-n)}{n}\)

substituindo no resultado de há pouco

\((\frac{n}{m})^{\frac{x.(m-n)}{n}}=\frac{x^x}{y^y}\)

\(\left((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}\right)^x=\frac{x^x}{y^y}\)

aplicando \(\log\) dos dois lados

\(\log\left(\left((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}\right)^x\right)=\log\left(\frac{x^x}{y^y}\right)\)

lembre-se que \(\log(a^b)=b\log(a)\) e que \(\log(a/b)=\log(a)-\log(b)\)

\(x\log\left((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}\right)=\log\left(x^x\right)-\log\left({y^y}\right)\)

\(x\log\left((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}\right)=x\log\left(x\right)-y\log\left({y}\right)\)

dividindo tudo por \(x\)

\(\log\left((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}\right)=\log\left(x\right)-\frac{y}{x}\log\left({y}\right)\)

sabemos que \(y/x=m/n\)

\(\log\left((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}\right)=\log\left(x\right)-\frac{m}{n}\log\left({y}\right)\)

aplicando \(e^{f(x)}\) dos dois lados

\((\frac{n}{m})^{\frac{(m-n)}{n}}=\frac{x}{y^{m/n}}\)

andei aqui às voltas mas acho que já tem o que quer