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Boas.
Como resolvo esta equação:
\(log^{2}(x)= 1\)

Qual é a diferença entre aparecer o log ao quadrado e aparecer apenas o x ?

A equação é na verdade
\((\log x)^2 = 1\)

mas, normalmente utiliza-se a notação \(\log^2 x = 1\). Então,

\(\log^2 x = 1 \Leftrightarrow
\log x = 1 \quad \vee \quad \log x = -1 \Leftrightarrow
x = e \quad \vee \quad x = e^{-1}\)