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Boa tarde,

Eu estou com dúvida em duas questões relacionadas a modelos probabilísticos discretos, a seguir as questões:

Questão 1 - Uma companhia de seguros descobriu que somente cerca de 0,1% da população está incluída em certo tipo de acidente cada ano. Se seus 10.000 segurados são escolhidos, ao acaso, na população, qual é a probabilidade de que não mais do que 5 de seus clientes venham a estar incluídos em tal acidente no próximo ano?

- Na questão 1 eu estava utilizando o modelo hipergeométrico, contudo não tenho o número total da população, então eu estava deixando em função de N e colocava n como 0,1%N, só que não sei se isso é correto.

A função de probabilidade do modelo hipergeométrico é essa:

P(X= k)= \frac{\binom{r}{k}\cdot \binom{N-r}{n-k}}{\binom{N}{n}}

Questão 2 - O número de navios petroleiros, digamos N, que chegam a determinada refinaria, cada dia, tem distribuição de Poisson, com parâmetro lambda = 2. As atuais instalações do porto podem atender a três petroleiros por dia. Se mais três petroleiros aportarem por dia, os excedentes a três deverão seguir para outro porto.

(b) De quanto deverão as atuais instalações ser aumentadas para permitir manobrar todos os petroleiros, em aproximadamente 90% dos dias?
(d) Qual é o número mais provável de petroleiros a chegarem por dia?
(e) Qual é o número esperado de petroleiros a serem atendidos diariamente?
(f) Qual é o número esperado de petroleiros que voltarão a outros portos diariamente?


GABARITO:

(b) 4
(d) 1 ou 2
(e) 1,785
(f) 0,215

No primeiro vc pode usar a aproximação da binomial pela normal.
vc pode fazer isso quando np>5 e nq>5, nesse caso np=10000(0,001)=10 e nq=10000(0,999)=9.990
a média da normal sera u=np=10; e o desvio padrao é dado por \(\sqrt{npq}=\sqrt{10000.0,001.0,999}=3,16\)

vc deve fazer uma correção de continuidade para usar essa aproximação, pesquise sobre a aproximação da binomial pela normal pra ver como funciona.

Vc quer P(X<5,5).

\(z=\frac{5,5-10}{3,16}=-1,42\)


\(p(z<-1,42)=7,78%\)

Nessa questão não é aconselhável utilizar o modelo normal, ainda não, ela pode ser resolvida usando apenas os modelos para variáveis aleatórias discretas.

\(P(<= 5)=C_{0}^{10.000}(0,001^0)(0,999^{10.000})+C_{1}^{10.000}(0,001^1)(0,999^{9999})+C_{2}^{10.000}(0,001^1)(0,999^{9998})+C_{3}^{10.000}(0,001^3)(0,999^{9997})+
C_{4}^{10.000}(0,001^4)(0,999^{9996})+C_{5}^{10.000}(0,001^5)(0,999^{9995})=6,69%\)

Não fiz a soma novamente pra confirmar se é 6,69% msm.