Fórum de Matemática
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Qual a solução da equação 2^x = -3x + 2,com x real:

Vou usar o metodo de newton pra resolver essa equação, o grafico dela é dado por http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5Ex%2B3x-2%3D0

Estamos interessados em localizar o valor que zera a equação \(y(x)=2^x+3x-2\)

o metodo de newton é dado por \(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)

o primeiro passo é localizar um ponto de partida pra usar o metodo, podemos atribuir alguns valores para x, fazendo isso percebemos que \(y(0)=-1\) e \(y(1)=3\) isso significa que a função mudou de sinal, se mudou de sinal ela cortou a abscisa.

fiz alguns testes no excel e achei que \(y(0,25)=-0,060792885\) e \(y(0,3)=0,131144413\)

vou tomar x=0,25 como a primeira aproximação, assim

\(x_{0+1}=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\)

\(x_{0+1}=x_0-\frac{2^{x_n}+3x_n-2}{2^{x_n}*ln(2)+3}\)

\(x_{1}=0,25-\frac{2^{0,25}+3.0,25-2}{2^{0,25}*ln(2)+3}=0,265896492\)

usaremos agora esse resultado para encontrat a proxima aproximação

\(x_{1+1}=x_1-\frac{2^{x_1}+3x_1-2}{2^{x_1}*ln(2)+3}\)

\(x_{2}=0,265896492-\frac{2^{0,265896492}+3*0,265896492-2}{2^{0,265896492}*ln(2)+3}=0,265877591\)


\(x_{2+1}=x_2-\frac{2^{x_2}+3x_1-2}{2^{x_2}*ln(2)+3}\)

\(x_{3}=0,265877591-\frac{2^{0,265877591}+3*0,265877591-2}{2^{0,265877591}*ln(2)+3}=0,265877591\)

repare que o resultado de \(x_3\) é igual ao resultado de \(x_2\) podemos dizer que o valor aproximado da raiz é 0,266, se substituirmos esse valor na equação dada encontramos.

\(2^x=-3x+2\)

\(2^{0,266}=-3(0,266)+2\)

1,202=1,202

se quiser pode trabalhar com mais casas decimais.