Fórum de Matemática
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(UFOP-MG) Se \(\frac{2^x}{3} - \frac{2^{(2 - x)}}{3} = 1\) então determine quanto vale \(4^{\frac{x}{2}} - x^2\).

Olá viannad2,
seja bem-vindo(a)!!

Desenvolvendo a primeira condição do enunciado,

\(\frac{2^x}{3} - \frac{2^2 \cdot 2^{- x}}{3} = 1\)

\(\frac{2^x}{3} - \frac{4}{3 \cdot 2^x} = 1\)

Consideremos \(2^x = k\), então:

\(\frac{k}{3} - \frac{4}{3k} = 1\)

\(\frac{k}{3/k} - \frac{4}{3k/1} = \frac{1}{1/3k}\)

\(k^2 - 4 = 3k\)

\(k^2 - 3k - {4} = {0}\)

\((k - 4)(k + 1) = 0\)

\(\fbox{k = 4}\)

\(\fbox{k = - 1}\)


=> quando k = - 1:

\(\\ 2^x = k \\\\\\ 2^x = - 1\)

Não existe valor para "x"...


=> quando k = 4:

\(\\ 2^x = k \\\\\\ 2^x = 4 \\\\\\ 2^x = 2^2 \\\\\\ \fbox{x = 2}\)


Por fim,

\(\\ 4^{\frac{x}{2}} - x^2 = \\\\\\ 4^{\frac{2}{2}} - 2^2 = \\\\\\ 4^1 - 4 = \\\\\\ \fbox{\fbox{0}}\)

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Daniel Ferreira
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