Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Sejam x e y números reais positivos que satisfazem as equações \(log_y x + log_x y = \frac{5}{2}\) e \(xy = 8\)


Então \(x+y\) vale:

No primeiro termo y e a base e x o logaritmando. No segundo, o inverso...

Tentei mas não consegui resolver ^^

Jpsmarinho,
procure postar suas dúvidas nos fóruns cujo assunto seja condizente, ok?!

Vamos a questão.
Presumo que saiba fazer mudança de base, então, passemos para a base y;

\(log_y x + log_x y = \frac{5}{2}\)

\(log_y x + \frac{log_y y}{log_y x} = \frac{5}{2}\)

\(log_y x + \frac{1}{log_y x} = \frac{5}{2}\)


Consideremos \(log_y x = \lambda\)

Segue que

\(\lambda + \frac{1}{\lambda} = \frac{5}{2}\)

\(2\lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0\)

\(2\lambda^2 - 4\lambda - \lambda + 2 = 0\)

\(2\lambda(\lambda - 2) - 1(\lambda - 2) = 0\)

\((\lambda - 2)(2\lambda - 1) = 0\)

\({\color{Red} \lambda = 2}\) e \({\color{Red} \lambda = \frac{1}{2}}\)


Lembrando que \(log_y x = \lambda\)

\(log_y x = 2\)

\(y^2 = x\)

Resolvendo,

\(\begin{cases}x = y^2 \\ xy = 8\end{cases}\)

Encontramos,

\({\color{Blue} y = 2}\) e \({\color{Blue} x = 4}\)

Logo,

\(\fbox{x + y = 6}\)

Espero ter ajudado!

Daniel F.

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Não havia me atentado a isto quando fiz esta pergunta. Desculpa mesmo...

O motivo para não utilizar ƛ= 1/2 é porque não é aprovado pela condição de existência do log? Obrigado mesmo pela resposta!

Tranquilo!


Não. Veja:


\(log_y x = \frac{1}{2}\)

\(y^{\frac{1}{2}} = x\)

\(x = \sqrt{y}\)

Resolvendo,

\(\begin{cases}x = \sqrt{y} \\ xy = 8\end{cases}\)

Encontramos,

\({\color{Blue} y = 4}\) e \({\color{Blue} x = 2}\)

Logo,

\(\fbox{x + y = 6}\)


Concluímos que \(x + y\) não sofre alteração!

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Daniel, muito obrigado mesmo! Acho que você não tem idéia de como foi útil tudo o que você me falou! Não sei se você possui alguma religião, mas, se me permite, Deus que te abençoe!