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| Logaritmo - FUVEST https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=72&t=675 |
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| Autor: | jpsmarinho [ 22 jul 2012, 19:32 ] |
| Título da Pergunta: | Logaritmo - FUVEST |
Sejam x e y números reais positivos que satisfazem as equações \(log_y x + log_x y = \frac{5}{2}\) e \(xy = 8\) Então \(x+y\) vale: No primeiro termo y e a base e x o logaritmando. No segundo, o inverso... Tentei mas não consegui resolver ^^ |
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| Autor: | danjr5 [ 22 jul 2012, 20:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Logaritmo - FUVEST |
Jpsmarinho, procure postar suas dúvidas nos fóruns cujo assunto seja condizente, ok?! Vamos a questão. Presumo que saiba fazer mudança de base, então, passemos para a base y; \(log_y x + log_x y = \frac{5}{2}\) \(log_y x + \frac{log_y y}{log_y x} = \frac{5}{2}\) \(log_y x + \frac{1}{log_y x} = \frac{5}{2}\) Consideremos \(log_y x = \lambda\) Segue que \(\lambda + \frac{1}{\lambda} = \frac{5}{2}\) \(2\lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0\) \(2\lambda^2 - 4\lambda - \lambda + 2 = 0\) \(2\lambda(\lambda - 2) - 1(\lambda - 2) = 0\) \((\lambda - 2)(2\lambda - 1) = 0\) \({\color{Red} \lambda = 2}\) e \({\color{Red} \lambda = \frac{1}{2}}\) Lembrando que \(log_y x = \lambda\) \(log_y x = 2\) \(y^2 = x\) Resolvendo, \(\begin{cases}x = y^2 \\ xy = 8\end{cases}\) Encontramos, \({\color{Blue} y = 2}\) e \({\color{Blue} x = 4}\) Logo, \(\fbox{x + y = 6}\) Espero ter ajudado! Daniel F. |
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| Autor: | jpsmarinho [ 22 jul 2012, 21:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Logaritmo - FUVEST |
Não havia me atentado a isto quando fiz esta pergunta. Desculpa mesmo... O motivo para não utilizar ƛ= 1/2 é porque não é aprovado pela condição de existência do log? Obrigado mesmo pela resposta! |
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| Autor: | danjr5 [ 22 jul 2012, 22:47 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Logaritmo - FUVEST |
jpsmarinho Escreveu: Não havia me atentado a isto quando fiz esta pergunta. Desculpa mesmo... Tranquilo! jpsmarinho Escreveu: O motivo para não utilizar \(\lambda = \frac{1}{2}\) é porque não é aprovado pela condição de existência do log? Obrigado mesmo pela resposta! Não. Veja: danjr5 Escreveu: Lembrando que \(log_y x = \lambda\) \(log_y x = \frac{1}{2}\) \(y^{\frac{1}{2}} = x\) \(x = \sqrt{y}\) Resolvendo, \(\begin{cases}x = \sqrt{y} \\ xy = 8\end{cases}\) Encontramos, \({\color{Blue} y = 4}\) e \({\color{Blue} x = 2}\) Logo, \(\fbox{x + y = 6}\) Concluímos que \(x + y\) não sofre alteração! |
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| Autor: | jpsmarinho [ 23 jul 2012, 03:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Logaritmo - FUVEST |
Daniel, muito obrigado mesmo! Acho que você não tem idéia de como foi útil tudo o que você me falou! Não sei se você possui alguma religião, mas, se me permite, Deus que te abençoe! |
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