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| Função exponencial- resolução de equação https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=72&t=6847 |
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| Autor: | starblue [ 04 set 2014, 19:41 ] |
| Título da Pergunta: | Função exponencial- resolução de equação [resolvida] |
\(e^{x}-e^{-x}=4\) Alguém me pode ajudar na resolução desta equação? |
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| Autor: | josesousa [ 05 set 2014, 10:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Função exponencial- resolução de equação |
\(e^{x}-e^{-x}=4\) \(e^x.(e^{x}-e^{-x})=4e^x\) \(e^{2x}-1=4e^x\) \(e^{2x}-4e^x-1=0\) Que é uma equação quadrática em \(z=e^x\) \((e^{x})^2-4e^x-1=0\) \(z^2-4z-1=0\) Podemos resolver em ordem a z \(z=\frac{4\pm \sqrt{16+4}}{2}\) \(z=\frac{4\pm \sqrt{20}}{2}\) \(z=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}\) \(z=2\pm \sqrt{5}\) E depois temos que \(x=ln(z)\) Ou seja, \(x=ln(2\pm \sqrt{5})\) Como \(\sqrt{5}>2\), existe apenas uma solução, pois na outra o argumento do logaritmo era negativo. Assim, \(x=ln(2+ \sqrt{5})\) |
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| Autor: | starblue [ 05 set 2014, 14:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Função exponencial- resolução de equação |
Muito obrigada pela resposta. Percebi agora onde errava. |
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| Autor: | FernandoMartins [ 05 set 2014, 18:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Função exponencial- resolução de equação |
Permitam-me que adicione a mesma resolução mas por outro ponto de vista: Se usarmos a substituição x= Ln(z), virá após a substituição: \(e^{x}-e^{-x}=4\Leftrightarrow z-z^{-1}=4\) e para z <> 0 \(\Leftrightarrow z^{2}-4z-1=0\Leftrightarrow z=2\pm \sqrt{5}\Leftrightarrow x=Ln(2\pm \sqrt{5})\) 
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