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Solucionar equação quadrática com fração e potenciação
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Autor:  ANDRECANTUARIA [ 17 nov 2014, 04:22 ]
Título da Pergunta:  Solucionar equação quadrática com fração e potenciação
Amigos, boa noite! Não estou conseguindo solucionar este problema. Alguém poderia me ajudar?

Problema: O dobro da soma das raízes da equação é:

2 .(( 4/9 )^- 2X) - 5.(( 3/2 )^2X) = - 3
Autor:  danjr5 [ 13 dez 2014, 00:51 ]
Título da Pergunta:  Re: Solucionar equação quadrática com fração e potenciação  [resolvida]
Olá André,
boa noite!

\(2 \cdot \left [ \left ( \frac{4}{9} \right )^{- 2x} \right ] - 5 \cdot \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} \right ] = - 3\)

\(2 \cdot \left [ \left ( \frac{9}{4} \right )^{+ 2x} \right ] - 5 \cdot \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} \right ] = - 3\)

\(2 \cdot \left [ \left ( \frac{3^2}{2^2} \right )^{+ 2x} \right ] - 5 \cdot \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} \right ] = - 3\)

\(2 \cdot \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{4x} \right ] - 5 \cdot \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} \right ] = - 3\)

\(2 \cdot \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} \right ]^2 - 5 \cdot \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} \right ] + {3} = {0}\)

Consideremos \(\left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} = k\). Segue que,

\(2 \cdot k^2 - 5 \cdot k + 3 = {0}\)

\(2k^2 - 5k + 3 = {0}\)

\(2k^2 - 2k - 3k + 3 = {0}\)

\(2k(k - 1) - 3(k - 1) = {0}\)

\((2k - 3)(k - 1) = {0}\)

\(\fbox{S = \left \{ \frac{3}{2}, 1 \right \}}\)

Daí,

Raiz I:

\(\left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} = k\)

\(\left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} = \frac{3}{2}\)

\(\left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} = \left ( \frac{3}{2} \right )^1\)

\(2x = 1\)

\(\fbox{x = \frac{1}{2}}\)


Raiz II:

\(\left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} = k\)

\(\left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} = 1\)

\(\left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} = \left ( \frac{3}{2} \right )^0\)

\(2x = 0\)

\(\fbox{x = 0}\)


Por fim,

\(\\ 2 \cdot (\frac{1}{2} + 0) = \\\\ 2 \cdot \frac{1}{2} = \\\\ \fbox{\fbox{1}}\)
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