Fórum de Matemática
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Olá a todos, a seguir apresento uma inequação logarítmica que me tem dado a volta à cabeça.

\((log_{2}\, x)^{2}-log_{2}\, x^{2}> 0\)

Eu tentei resolvê-la, mas não passei do início \((log_{2}\, x)^{2}-log_{2}\, x^{2}> 0\Leftrightarrow (log_{2}\, x)^{2}-2\, log_{2}\, x> 0\) e considerei \(log_{2}\, x=y\), no entanto daqui não consigo passar, não sei o que fazer a seguir.

Se alguém me conseguir ajudar com o resto da inequação e, se for caso disso, corrigir o pouco que fiz, agradeço.

O que você fez parece estar correto. Então vou continuar de onde você parou.

\((\log _{2}x)^2-\log_{2}(x^2)>0\Rightarrow (\log _{2}x)^2-2\log_{2}x>0\)

Agora, fazemos a substituição

\(y=\log_{2}x\)

Aqui, não há restrições para a variável \(y\), pois \(log_{2}x\) pode assumir qualquer valor real. Sendo assim, temos

\(y^2-2y>0\Rightarrow y(y-2)>0\)

Note que o lado esquerdo da inequação é um produto. Para que este produto seja maior que zero, basta que os fatores tenham o mesmo sinal. Ou seja,

\(\left\{\begin{matrix} y>0\; \textrm{e}\; y-2>0,\; \textrm{ou}\\y<0\; \textrm{e}\; y-2<0 \end{matrix}\right.\)

Podemos reescrever as desigualdades acima da seguinte forma

\(\left\{\begin{matrix} y>0\; \textrm{e}\; y>2,\; \textrm{ou}\\y<0\; \textrm{e}\; y<2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y>2,\; \textrm{ou}\\y<0 \end{matrix}\right.\)

Então devemos ter

\(y>2\textrm{ ou }y<0\)

Para voltarmos à variável \(x\), basta utilizarmos a relação de substituição. Como a base é \(2 > 1\), a função logarítima neste caso é estritamente crescente e aplicando a exponencial de base 2 a ambos os lados das desigualdades, o sinal da desigualdades não se altera. Além disso, temos uma restrição para \(x\) que é \(x>0\). Então, chegamos a

\(log_{2}x>2\textrm{ ou }log_{2}x<0\Rightarrow x>2^2\textrm{ ou }0<x<2^0\)

Finalmente, chegamos à solução

\(x>4\textrm{ ou } 0<x<1\)

O conjunto solução \(S\) é dado pela união destes dois intervalos

\(S=\left ( 0 ,1 \right )\cup \left ( 4,+\infty \right )\)

As desigualdades \(y>2\) e \(y<0\), nos levam à solução em \(x\). Obtemos facilmente esses intervalos observando o esboço do gráfico de \(y = \log_{2}\textrm{ }x\).