Estou tendo sérias dificuldades com esse problema. Não sei se tenho que transformar base 2 em base 10, ou multiplicar primeiro para depois fazer a decomposição dos logaritmos.
| Anexos: |
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| Operações aritméticas com logaritmos e raízes https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=72&t=8041 |
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| Autor: | Breno Vaz Pereira [ 18 fev 2015, 18:49 ] | ||
| Título da Pergunta: | Operações aritméticas com logaritmos e raízes | ||
Estou tendo sérias dificuldades com esse problema. Não sei se tenho que transformar base 2 em base 10, ou multiplicar primeiro para depois fazer a decomposição dos logaritmos.
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 18 fev 2015, 20:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Operações aritméticas com logaritmos e raízes |
Olá! \(\sqrt[3]{8\sqrt{7^5\cdot 3^6\cdot \frac{7}{4}}}=2\cdot (7^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{3}}\cdot (3^{\frac{6}{2}})^{\frac{1}{3}}\cdot \left ( \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2} \right )^{\frac{1}{3}}=2\cdot 7^{\frac{5}{6}}\cdot 3\cdot \frac{7^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{6\cdot 7^{\frac{5}{6}}\cdot 7^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{6\cdot 7}{2^{\frac{1}{3}}}\) \(\log_2 \left (\frac{6\cdot 7}{2^{\frac{1}{3}}} \right )= \log_2\left ( 2\cdot 3\cdot 7 \right )-\log_2\left ( 2^{\frac{1}{3}} \right )=\frac{\log (2\cdot 3\cdot 7)}{\log (2)}-\frac{1}{3}=\frac{\log(2)+\log(3)+\log(7)}{\log(2)}-\frac{1}{3}=\frac{0,30+0,48+0,85}{0,30}-\frac{1}{3}=5,10\) Resposta C) |
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| Autor: | Breno Vaz Pereira [ 19 fev 2015, 14:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Operações aritméticas com logaritmos e raízes |
pedrodaniel10 Escreveu: Olá! \(\sqrt[3]{8\sqrt{7^5\cdot 3^6\cdot \frac{7}{4}}}=2\cdot (7^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{3}}\cdot (3^{\frac{6}{2}})^{\frac{1}{3}}\cdot \left ( \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2} \right )^{\frac{1}{3}}=2\cdot 7^{\frac{5}{6}}\cdot 3\cdot \frac{7^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{6\cdot 7^{\frac{5}{6}}\cdot 7^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}=\frac{6\cdot 7}{2^{\frac{1}{3}}}\) \(\log_2 \left (\frac{6\cdot 7}{2^{\frac{1}{3}}} \right )= \log_2\left ( 2\cdot 3\cdot 7 \right )-\log_2\left ( 2^{\frac{1}{3}} \right )=\frac{\log (2\cdot 3\cdot 7)}{\log (2)}-\frac{1}{3}=\frac{\log(2)+\log(3)+\log(7)}{\log(2)}-\frac{1}{3}=\frac{0,30+0,48+0,85}{0,30}-\frac{1}{3}=5,10\) Resposta C) Obrigado pela resposta, mas não compreendi algumas coisas |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 19 fev 2015, 15:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Operações aritméticas com logaritmos e raízes |
Poderia dizer o que não compreendeu ? Assim talvez possa ajudar. |
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| Autor: | Breno Vaz Pereira [ 19 fev 2015, 19:34 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Operações aritméticas com logaritmos e raízes | ||
pedrodaniel10 Escreveu: Poderia dizer o que não compreendeu ? Assim talvez possa ajudar. Nessa parte eu não entendi como você transformou "base 2" em "base 10" e como "1/3" se transformou de potencia em subtração
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 19 fev 2015, 19:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Operações aritméticas com logaritmos e raízes [resolvida] |
Olá. Eis algumas propriedades das operações com logaritmos. \(\log \left (\frac{x}{y} \right )= \log (x)- \log(y)\) Deste modo: \(\log_2 \left (\frac{6 \cdot 7}{2^{\frac{1}{3}}} \right )= \log_2\left (6 \cdot 7 \right )-\log_2\left ( 2^{\frac{1}{3}}\right )\) Outra propriedade: \(\log_a \left (a^x \right )=x\), por isso: \(\log_2\left ( 2^{\frac{1}{3}}\right )=\frac{1}{3}\) Na expressão fica: \(\log_2\left (6 \cdot 7 \right )-\frac{1}{3}\) Se fatorizar-mos o 6 de modo a ficar apenas com números de logaritmos que temos: \(6 \times 7\)\(=2 \times 3 \times 7\) \(\log_2\left (2 \cdot 3 \cdot 7 \right )-\frac{1}{3}\) Chegados aqui transforma-se o log na base de 2 em base de 10 \(\frac{\log (2\cdot 3\cdot 7)}{\log (2)}-\frac{1}{3}\) Espero que tenha ajudado. Entendeu tudo direitinho antes dos logaritmos, na parte de simplificar a própria expressão ? Qualquer dúvida não hesite em pedir. |
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| Autor: | Breno Vaz Pereira [ 19 fev 2015, 20:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Operações aritméticas com logaritmos e raízes |
Agora sim. Foram tantas expressões que me passou despercebido o truque de "tombar" o 1/3, tornando-o multiplicação em vez de potência. Obrigado! Só mais uma coisa: Na primeira parte você elevou tudo a "1/3" de um jeito que você eliminou as potências depois. Isso é treino? Ou tem algum truque? |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 19 fev 2015, 20:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Operações aritméticas com logaritmos e raízes |
Não, não é nenhum truque, apenas reescrevi a expressão em forma de expoente. \(\sqrt[3]{8\sqrt{7^5\cdot 3^6\cdot \frac{7}{4}}}=\left (8\sqrt{7^5\cdot 3^6\cdot \frac{7}{4}} \right )^{\frac{1}{3}}=\left (8\left (7^5\cdot 3^6\cdot \frac{7}{4} \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{3}}=2\left (7^5\cdot 3^6\cdot \frac{7}{4} \right )^{\frac{1}{6}}\) Talvez se perceba melhor assim. Como está tudo multiplicando, todos os expoentes multiplicam entre si. |
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