Bom dia!
1) Análise pela derivada primeira:
\(f(x)=e^{-x^2}\\
f'(x)=e^{-x^2}\cdot (-x^2)'\\
f'(x)=e^{-x^2}\cdot (-2x)\\
f'(x)=-2x\cdot e^{-x^2}\)
Analisando o sinal da derivada temos:
\(\left{f'(x) > 0, -\infty < x < 0 \text{ Funcao crescente}\\
f'(x) = 0, x = 0 \text{ Ponto de maximo}\\
f'(x) < 0, 0 < x < \infty \text{ Funcao decrescente}\)
Então, derivada indica a função ser crescente para valores negativos e decrescente para valores positivos. Como a derivada é nula em x = 0 e alterna de crescente para decrescente, este ponto é um ponto de máximo.
2) Análise pela derivada segunda:
\(f'(x)=-2xe^{-x^2}\\
f"(x)=-2((x)'e^{-x^2}+x(e^{-x^2})')\\
f"(x)=-2(1\cdot e^{-x^2}+x\cdot e^{-x^2}(-x^2)')\\
f"(x)=-2(e^{-x^2}+x\cdot e^{-x^2}(-2x))\\
f"(x)=-2(e^{-x^2}-2x^2\cdot e^{-x^2})\\
f"(x)=-2e^{-x^2}(1-2x^2)\\\)
Igualando a derivada segunda a zero encontraremos duas raízes:
\((1-2x^2){=}0\\
2x^2{=}1
x^2{=}\frac{1}{2}\\
x{=}\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Analisando o sinal da derivada segunda:
\(\left{f"(x) > 0, -\infty < x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \text{ Concavidade para cima}\\
f"(x) = 0, x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ Ponto de inflexao}\\
f"(x) < 0, -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ Concavidade para baixo}\\
f"(x) = 0, x = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ Ponto de inflexao}\\
f"(x) > 0, \frac{\sqrt{2}}{2} < x < \infty \text{ Concavidade para cima}\)
3) Analisando os limites para o infinito:
\(\lim_{x\to -\infty} {f(x)}= 0\\
\lim_{x\to \infty} {f(x)}= 0\)
Ou seja, tanto para mais quanto menos infinito a função tende a zero. Então, a reta \(f(x)=0\) é uma assíntota horizontal!
4) Montando o gráfico:
Anexo:
Gauss_Geogebra.jpg [ 27.33 KiB | Visualizado 2124 vezes ]
\(Inf_1\) Ponto de inflexão onde \(x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(Inf_2\) Ponto de inflexão onde \(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Espero ter ajudado!