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Vamos colocar tudo no primeiro membro: \(2^x+3x-2=0\) e criamos a função f(x)
\(f(x)=2^x+3x-2\)
Desta forma as soluções da equação é para o qual \(f(x)=0\)
Vamos derivar para ver se podemos concluir algo sobre a função f(x)
\(f'(x)=\ln (2)\cdot 2^x+3\)
E o que se conclui é que \(f'(x)>0, \forall x\in \mathbb{R}\). Desta forma a função f(x) é estritamente crescente em todo o seu dominio. Portanto, ou f(x) tem 1 única solução ou não tem solução. Ficamos reduzidos às opções A B e C. E para chegar à resposta podemos usar o Teorema de Bolzano.
A função f(x) é continua em todo o seu domínio R pois é a soma de uma função exponencial com um polinómio. Portanto é continuo nos intervalos ]0,2/3[ e ]-2/3,0[
\(f(0)=-1
f\left ( \frac{2}{3} \right )=1,587...\)
f(x) é continua no intervalo ]0,2/3[ , e f(0) e f(2/3) têm sinais contrário, então , pelo corolário do Teorema de Bolzano existe pelo menos um valor c compreendido entre 0 e 2/3 tal que f(c)=0. Ou seja, existe pelo menos uma solução nesse intervalo. Então pelo que já foi dito a opção B) é a correta sem ter que ir verificar a C
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