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Dada a equação algébrica de 4º grau e de coeficientes reais, encontre a soma das raízes complexas não reais da equação
\(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = 0\)

Usei o editor de equações, não sei se corretamente, pois a equação não aparece. Alguém pode me ajudar? Agardeço

Oi, bom dia,

Você digitou:


E está correto, mas parece haver um bug no formator. Então se digitar:


A visualização ficará assim:

\(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\)

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Fraol
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E quanto à soma das raízes complexas:

A rigor todas as 4 raízes são complexas e a soma poderia ser obtida por Girard: \(S = (-1)^3 \times \frac{a_1}{a_4} = 4\)

Mas imagino que o questionador esteja querendo que separe as raízes reais das estritamente complexas, daí vai a minha sugestão:

Se fatorarmos \(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\) obteremos: \((x^2-x+1)\times(x^2-3x+1)\)

e daí para obter as raízes você pode aplicar a fórmula da equação do 2o. grau em ambos os fatores que encontrará as 4 raízes e poderá responder.

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Obrigado. Posso continuar usando dessa forma das próximas vezes? O que é, ou como faço para retirar o bug?

A forma que encontrei de evitar o tal bug foi usar as {} quando tenho termos simples como a ou 5 ou x, então coloco como {a} ou {5} ou {x} e clico em prever .

Veja que no caso da sua equação a única coisa que fiz foi envolver o 0 final com {}.

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Caro colaborador, fiquei em dúvida de como fatorar o polinômio dado.
Obrigado

Bom dia,




É, eu também fico em dúvida, na maior parte das vezes.

Não sei se há uma técnica especial para isso. Deve existir, como não conheço, uso o seguinte método:

Para fatorar \(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\) em dois fatores:

Verifico o termo de maior grau e o de menor grau. No nosso caso \(x^4 = x^2 \cdot x^2\) e \(1 = 1 \cdot 1\) respectivamente, então abro o produto de dois fatores assim:

\((x^2 \left ( ... \right ) +1)\cdot(x^2 \left ( ... \right )+1)\)

com isso eu tenho uma possível parte da fatoração. Agora eu olho para o termo grau 1, no nosso caso aí em cima, eu devo obter \(-4x\) quando multiplicar pelo da esquerda e pelo 1 da direita. Um candidato seria \(-2x\), mas não deu certo, então eu tentei \(-x\) e \(-3x\), assim:

\((x^2 -x +1)\cdot(x^2 -3x +1)\)

E, por sorte, ficou tudo beleza!

Basicamente eu suponho (chuto) e verifico se é consistente. A prática vai ajudando a escolher melhor os caminhos. Muitas vezes fico enrolado - aí parto para outras alternativas como verificar algumas raízes possíveis, etc...

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