Simplificação de polinômios - fatoração de polinômio 3º grau imperfeito

[Undyscover]

Olá pessoal.
Primeiro, não sei se o termo do título ("polinômio 3º grau imperfeito") existe, até porque estou tendo dificuldade pra encontrar ajuda na internet, então mil perdões se estou ferindo algum termo matemático rsrs
Bom, estou estudando matemática em casa e estou com problemas ao fatorar os polinômios para encontrar sua forma simplificada, por exemplo. Não tive problemas com os exercícios mais simples, tal como \(\frac{x^2-4}{3x^3-6x^2+x-2}\), mas alguns em particular são extremamente difíceis pra mim, como este aqui abaixo:

Simplificar:
\(\frac{x^3+3x^2-4x+12}{x^4-4}\)


No livro a resposta é \(x+3\). Como chego nesse resultado?

Aceito dicas de como simplificar/fatorar equações como esta (\(x^3+3x^2-4x+12\)), apostilas, aulas e enfim, pode ser em inglês também. Estou com bastante dificuldade nesse assunto.

Muito obrigado desde já!

[tiatalli]

Também estou penando para aprender a fatorar equações do 3º grau pra cima. Mas ouvi dizer do método de cardano para resolver equações do 3º grau e também do briot ruffini.

https://people.math.osu.edu/derdzinski.1/courses/4552/4552-cubic-quartic.pdf

Se você souber inglês, fica o link. Beeijos :*

[Undyscover]

tiatalli, muito obrigado pela resposta!
Vou dar uma olhada nessa apostila!

[danjr5]

Olá Undyscover, seja bem-vindo!

Quanto ao gabarito, não consegui entender como é possível a resposta ser \((x + 3)\), uma vez que o grau do denominador é maior que o do numerador.

Quanto à fatoração, podes simplificá-la verificando se os divisores (inclusive negativos) do termo independente da equação fazem parte do conjunto-solução. Nesse caso, os divisores de 12 são: \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 3\), \(\pm 4\), \(\pm 6\) e \(\pm 12\).

No caso de algum daqueles valores ser raiz da equação (supomos que seja \(\lambda\)), então devemos dividir o numerador/polinômio por \((x - \lambda)\). Dessa forma, ficamos com um polinômio de grau 2 que poderá ser simplificado achando suas raízes.

Já que nenhum dos possíveis valores acima é raiz do polinômio, pode-se concluir que as raízes não são racionais.

A propósito, o método referido é conhecido como Teorema das raízes racionais.

[Undyscover]

Obrigado pela ajuda danjr5!
Realmente, já tentei substituir pelas possíveis raízes e nada. Só posso concluir que realmente a resposta do livro está incorreta. Vou procurar mais exercícios relacionados e vou resolvê-los da forma que me indicou. Muito obrigado!

[Fraol]

Olá a todos, deixa eu dar pitaco também.

Simplificar:
\(\frac{x^3+3x^2-4x+12}{x^4-4}\)

No livro a resposta é \(x+3\). Como chego nesse resultado?

A resposta será \(x+3\) quando o denominador for \({x^2-4}\).

[Fraol]

Ah! (preciso parar de usar o celular ou ir ao oculista!)

No numerador deveríamos ter \(-12\).

[professorhelio]

Olá pessoal.
Primeiro, não sei se o termo do título ("polinômio 3º grau imperfeito") existe, até porque estou tendo dificuldade pra encontrar ajuda na internet, então mil perdões se estou ferindo algum termo matemático rsrs
Bom, estou estudando matemática em casa e estou com problemas ao fatorar os polinômios para encontrar sua forma simplificada, por exemplo. Não tive problemas com os exercícios mais simples, tal como \(\frac{x^2-4}{3x^3-6x^2+x-2}\), mas alguns em particular são extremamente difíceis pra mim, como este aqui abaixo:

Simplificar:
\(\frac{x^3+3x^2-4x+12}{x^4-4}\)


No livro a resposta é \(x+3\). Como chego nesse resultado?

Aceito dicas de como simplificar/fatorar equações como esta (\(x^3+3x^2-4x+12\)), apostilas, aulas e enfim, pode ser em inglês também. Estou com bastante dificuldade nesse assunto.

Muito obrigado desde já!

Penso que você se equivocou na hora de copiar a fração
Para que o resultado seja x + 3, temos que ter:
(x³ + 3x² - 4x - 12)/(x² - 4)