Polinômios - Questão 2

[danjr5]

Bom dia.

Você poderia resolver essa questão de polinômio, por gentileza:

2) Dado \(P(x)= ax^2 + bx + c\), calcule \(a\), \(b\) e \(c\) para que se tenha a identidade de \(P(x + 1) \equiv P(2x)\)


Obrigado.

Editado pela última vez por danjr5 em 08 jan 2013, 23:44, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar LaTeX

[danjr5]

Se \(P(x) = ax^2 + bx + c\), então para achar \(P(x + 1)\) substitua...

\(\\ P(x + 1) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c \\\\ P(x + 1) = a(x^2 + 2x + 1) + bx + b + c \\\\ P(x + 1) = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c \\\\ \fbox{P(x + 1) = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)}\)


Para encontrar \(P(2x)\), devemos fazer o mesmo, veja:

\(\\ P(2x) = a(2x)^2 + b(2x) + c \\\\ P(2x) = a \cdot (4x^2) + b \cdot (2x) + c \\\\ \fbox{P(2x) = 4ax^2 + 2bx + c}\)


Consegue prosseguir?

[NiGoRi]

Não consigo prosseguir.

Pode terminar pra mim, por favor?

[danjr5]

NiGoRi,
bom dia!
Ao menos informe sua dificuldade. Conseguiu entender até onde fiz?

No aguardo!

[NiGoRi]

Não sei se é pra igualar ou não.
Não consigo isolar nenhuma letra (a, b ou c) na equação pra saber o resultado de cada uma das variáveis.

Como que faz isso?

[danjr5]

Deve igualar sim!

\(\\ P(x + 1) = P(2x) \\\\ ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c) = 4ax^2 + 2bx + c\)

Da igualdade tiramos o sistema:

\(\begin{cases} a = 4a \\ 2a + b = 2b \\ a + b + c = c \end{cases}\)

Resolvendo-o...

Equação I:

\(\\ a = 4a \\\\ a - 4a = 0 \\\\ - 3a = 0 \\\\ a = \frac{0}{- 3} \\\\ \fbox{\fbox{a = 0}}\)



Equação II:

\(\\ 2a + b = 2b \\\\ 2 \cdot 0 + b = 2b \\\\ 0 + b = 2b \\\\ b - 2b = 0 \\\\ b = \frac{0}{- 1} \\\\ \fbox{\fbox{b = 0}}\)


Equação III:

\(\\ a + b + c = c\\\\ 0 + 0 + c = c \\\\ c - c = 0\\\\ \fbox{\fbox{0c = 0}}\)

\(C\) é indeterminado, ou seja, é um valor qualquer!