Polinômios - Questão 3

[danjr5]

Bom dia.

Aqui vai mais uma questão de polinômios que não estou conseguindo resolver:

3) Calcule os coeficientes \(a\) e \(b\) de modo que o polinômio \(P(x)=x^5 + ax^3 - bx - 1\), tenha uma raiz igual a \(2\) e outra igual a \((- 1)\).

Obrigado.

Editado pela última vez por danjr5 em 08 jan 2013, 23:45, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar LaTeX

[danjr5]

NiGoRi,
boa noite!
Foi dito, enunciado, que \(2\) e \(- 1\) são raízes do polinômio; disso, podemos concluir que:

\(\begin{cases} P(2) = 0 \\ P(- 1) = 0 \end{cases}\)


Substituindo \(2\) e \(- 1\) no polinômio temos:

\(\begin{cases} P(2) = 2^5 + a \cdot 2^3 - b \cdot 2 - 1 \\ P(- 1) = (- 1)^5 + a \cdot (- 1)^3 - b \cdot (- 1) - 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} P(2) = 32 + a \cdot 8 - 2b - 1 \\ P(- 1) = - 1 + a \cdot (- 1) + b - 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} P(2) = 32 + 8a - 2b - 1 \\ P(- 1) = - 1 - a + b - 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} P(2) = 31 + 8a - 2b \\ P(- 1) = - 2 - a + b \end{cases}\)

Consegue terminar?

[NiGoRi]

Não tô conseguindo terminar.

Me dá um auxílio, por favor.

[danjr5]

NiGoRi,
boa noite!
Foi dito, enunciado, que \(2\) e \(- 1\) são raízes do polinômio; disso, podemos concluir que:

\(\begin{cases} P(2) = 0 \\ P(- 1) = 0 \end{cases}\)


Substituindo \(2\) e \(- 1\) no polinômio temos:

\(\begin{cases} P(2) = 2^5 + a \cdot 2^3 - b \cdot 2 - 1 \\ P(- 1) = (- 1)^5 + a \cdot (- 1)^3 - b \cdot (- 1) - 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} P(2) = 32 + a \cdot 8 - 2b - 1 \\ P(- 1) = - 1 + a \cdot (- 1) + b - 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} P(2) = 32 + 8a - 2b - 1 \\ P(- 1) = - 1 - a + b - 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} P(2) = 31 + 8a - 2b \\ P(- 1) = - 2 - a + b \end{cases}\)

\(\begin{cases} 0 = 31 + 8a - 2b \\ 0 = - 2 - a + b \end{cases}\)

\(\begin{cases} 31 + 8a - 2b = 0 \\ - 2 - a + b = 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 8a - 2b = - 31 \\ - a + b = 2 \,\,\,\,\,\, \times (2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 8a - 2b = - 31 \\ - 2a + 2b = 4 \end{cases}\)
----------------------------
\(\\ 8a - 2a - 2b + 2b = - 31 + 4 \\\\ 6a = - 27 \,\,\,\,\, \div (3 \\\\ 2a = - 9 \\\\ \fbox{\fbox{a = - \frac{9}{2}}}\)

Para encontrar o valor \(b\), basta substituir o valor de \(a\) encontrado em uma das equações do sistema.