Divisão de Polinômio 2

[NiGoRi]

Não sei como resolver a questão anexa. Essas incógnitas me confundem.
Você pode me ajudar?

Aguardo retorno.

Anexos

Polinômio 4.png (44.6 KiB) Visualizado 2855 vezes

[danjr5]

\(D = d \cdot q + r\)

\(x^3 + x^2 + ax + b = (x^2 - x - 1) \cdot (\theta x + \beta) + x + 1\)

\(x^3 + x^2 + ax + b = \theta x^3 + \beta x^2 - \theta x^2 - \beta x - \theta x - \beta + x + 1\)

\(x^3 + x^2 + ax + b = \theta x^3 + (\beta - \theta)x^2 + (1 - \beta - \theta)x + 1 - \beta\)

\(\begin{cases} \fbox{\theta = 1} \\ \beta - \theta = 1 \Rightarrow \fbox{\beta = 2} \\ 1 - \beta - \theta = a \\ 1 - \beta = b \end{cases}\)

Com isso,

\(\begin{cases} 1 - \beta - \theta = a \\ 1 - \beta = b \end{cases}\)

\(\begin{cases} 1 - 2 - 1 = a \Rightarrow \fbox{\fbox{a = - 2}} \\ 1 - 2 = b \Rightarrow \fbox{\fbox{b = - 1}}\end{cases}\)

[Fraol]

Ok, lá vai a minha contribuição:

Primeiramente temos:

\(( x^3 + x^2 + ax + b ) : ( x^2 -x - 1 )\)

O primeiro termo do quociente é \(x^3 : x^2 = x\) que devemos multiplicar pelo divisor assim: \(x \cdot ( x^2 -x - 1 ) = ( x^3 - x^2 - x)\).

Esse resultado subtraímos do dividendo: \(( x^3 + x^2 + ax + b ) - (x^3 - x^2 + 1) = 2x^2 + (a+1)x + b\).

Pegamos 2x^2 e dividimos por x^2 obtendo 2 que devemos multiplicar pelo divisor assim: \(2 \cdot ( x^2 -x - 1 ) = ( 2x^2 - 2x - 2)\).

Fazemos nova subtração: \(( 2x^2 + (a+1)x + b ) - ( 2x^2 - 2x - 2) = (a+3)x + b + 2\).

Aqui a divisão termina pois temos um resto com grau inferior ao do divisor.

Assim podemos comparar esse resto com o dado no enunciado:

\((a+3)x + b + 2 = x + 1\).

Daí sai:

a+3 = 1 => a = -2 e

b + 2 = 1 => b = -1.