Valor mínimo da função quadrática

[danjr5]

Para \(x > 0\), qual é o valor mínimo de:

\(y = x^2 + \frac{1}{x}\)

Alguém pode me dar o passo-a-passo desta questão ?
Não apenas a fórmula, os cálculos.


Obrigado !

Editado pela última vez por danjr5 em 02 mar 2013, 16:42, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar LaTeX

[Sobolev]

\(y(x)=x^2+\frac{1}{x}
y'(x)=2x - \frac{1}{x^2}
y''(x)=2 + \frac{2}{x^3}\)

Começando por observar que y''(x) > 0 para x>0, vemos que y é estritamente convexa no intervalo em estudo. Assim, se existir algum minimizante local, ele será minimizante global.

\(y'(x)=0 \Leftrightarrow 2x - \frac{1}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2 x^3 \eq 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)

Ora, como

\(y'(1/\sqrt[3]{2}) = 0, \quad y''(1/\sqrt[3]{2}) > 0\)

sabemos que esse ponto é um minimizante local que (sendo f convexa) é também o minimizante global.

O mínimo global será

\(y(1/\sqrt[3]{2}) = 2^{2/3}+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)

[hmmalafaia]

Gabarito indica resposta : 3· raiz cúbica de 2 sobre 2 :s.