desigualdade triangular

[karinap]

assumindo que a desigualdade triangular |a + b| é < ou = |a| +|b| seja válida para dois números quaisquer a e b, mostre que |x1 + x2 + ... + xn| é < ou = |x1| + |x2| + ... + |xn|. Obrigada!!

[Sobolev]

Basta aplicar sucessivamente a desigualdade triangular. Pode, e deve, usar indução finita mas a ideia é simplesmente :

\(|x_1+x_+\cdots + x_n| = |x_1 + (x_2+\cdots + x_n)| \leq |x_1| + |x_2+\cdots + x_n| \leq |x_1|+|x_2|+|x_3 + \cdots + x_n| \leq \cdots \leq |x_1|+|x_2|+ \cdots +|x_n|\)