indução finita
13 mar 2013, 14:46
Sejam u, v dois reais com u>v>0, mostre que u^n - v^n > (u-v)^n
n natural, > ou =2
usar indução finita
Obrigada!!!
n natural, > ou =2
usar indução finita
Obrigada!!!
Re: indução finita
14 mar 2013, 17:24
Para \(n=2\) temos que \(u^2-v^2>(u-v)^2\Leftrightarrow 2uv>2v^2\Leftrightarrow u>v\).
Para complementar a demonstração por indução falta provar que se \(u^n-v^n>(u-v)^n\) (hipótese de indução) então \(u^{n+1}-v^{n+1}>(u-v)^{n+1}\) (tese de indução).
Ora \(u^{n+1}-v^{n+1}=u^{n+1}-uv^n+uv^n-v^{n+1}=u(u^n-v^n)+(u-v)v^n>u(u^n-v^n)\)pois \((u-v)v^n>0\). Como, por hipótese de indução, \(u^n-v^n>(u-v)^n\), temos que \(u(u^n-v^n)>u(u-v)^n>(u-v)^{n+1}\) pois \(u>u-v\).
Para complementar a demonstração por indução falta provar que se \(u^n-v^n>(u-v)^n\) (hipótese de indução) então \(u^{n+1}-v^{n+1}>(u-v)^{n+1}\) (tese de indução).
Ora \(u^{n+1}-v^{n+1}=u^{n+1}-uv^n+uv^n-v^{n+1}=u(u^n-v^n)+(u-v)v^n>u(u^n-v^n)\)pois \((u-v)v^n>0\). Como, por hipótese de indução, \(u^n-v^n>(u-v)^n\), temos que \(u(u^n-v^n)>u(u-v)^n>(u-v)^{n+1}\) pois \(u>u-v\).
Re: indução finita
16 mar 2013, 23:13
