indução finita

[karinap]

Mostre, por indução finita, que:
1 + t + t² + ... + t^n = 1-t / 1-t , t diferente de 1 para todo n > ou = 1.


Obrigada!!!

[João Torgal]

Antes de mais, há um engano na pergunta. No enunciado, o segundo membro deve ser
\(\frac{1-t^{n+1}}{1-t}\)

Resolução:

Passo básico:
n = 1
\(1+t = \frac{(1+t)(1-t)}{(1-t)}= \frac{1-t^2}{1-t}\)

Logo está provado

Passo indutivo:

n = k, temos \(1+t+t^2+...+t^k = \frac{1-t^{k+1}}{1-t}\)

Temos então de provar que, para n = k+1,

\(1+t+t^2+...+t^k+t^{k+1} = \frac{1-t^{k+2}}{1-t}\)

Pela hipótese de indução
\(1+t+t^2+...+t^k+t^{k+1} = \frac{1-t^{k+1}}{1-t}+t^{k+1}\)
= \(\frac{1-t^{k+1}+t^{k+1}(1-t)}{1-t}\)
= \(\frac{1-t^{k+2}}{1-t}\), como queríamos demonstrar

[karinap]