Resolver equação (∛a+∛b-1)²=49+20∛6

[João Neto]

(Olimpíada Inglesa de Matemática) Se a e b são números inteiros positivos que satisfazem a equação:

\((\sqrt[3]{a}+ \sqrt[3]{b}-1)^{2}= 49+20.\sqrt[3]{6}\)

Calcule a e b.

[Sobolev]

Tenho apenas uma prova computacional... Podemos começar por ver que tanto a como b devem ser inferiores a 512. Um pequeno programa feito no Mathematica percorreu os possiveis valores de a,b e obtive a resposta: Devemos ter a = 48 e b=288, ou vice-versa.

Aguardo uma resolução melhor!

[Rui Carpentier]

Há uma maneira de resolver sem recorrer a computadores, embora o fundamento teórico não seja fácil.
Da mesma forma que \(\mathbb{C}=\{a+b\sqrt{-1}:a,b\in\mathbb{R}\}\) é fechado para somas e produtos também o conjunto* \(R=\{a+b\sqrt[3]{6}+c\sqrt[3]{36}:a,b,c\in\mathbb{Z}\}\) é fechado para somas e produtos (exercício).
Como \(49+20\sqrt[3]{6}\in R\) vamos considerar \(a=6k^3\) e \(b=36j^3\) com \(k,j\in \mathbb{Z}\), de modo que \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-1=-1+k\sqrt[3]{6}+j\sqrt[3]{36}\in R\).
É fácil fazer os cálculos que demonstram que \((\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-1)^2=(12jk+1)+(6j^2-2k)\sqrt[3]{6}+(k^2-2j)\sqrt[3]{36}\).
Assim sendo, podemos encontrar uma solução** fazendo \(12jk+1=49 \quad ; \quad 6j^2-2k=20 \quad ; \quad k^2-2j=0\) donde se tira que \(jk=4 \quad ; \quad 2j=k^2\) donde sai \(k=j=2\).
Logo \(a=6\times 8=48\) e \(b=36\times 8=288\).

* para quem sabe um pouco mais de álgebra o conjunto R trata-se do anel \(\mathbb{Z}[x]/I\) onde \(\mathbb{Z}[x]\) é o anel dos polinómios de coeficientes inteiros e \(I\) é o ideal gerado pelo polinómio (irredutível em \(\mathbb{Z}\)) \(x^3-6\).

** É possível mostrar que esta é a única solução (a menos de permutação de a com b) que satisfaz \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-1\in R\). Mostra que é a única em geral (\(a,b\in \mathbb{N}\)) já sai fora dos meus conhecimentos.