28 abr 2013, 03:47
Se o par ordenado \((x,y)\) de inteiros positivos, é a solução da equação \(x^3-y^3=xy+61\), podemos afirmar que\(\;\,x+y\) é igual a:
a)\(11\hspace{40}\)b)\(12\hspace{40}\)c)\(13\hspace{40}\)d)\(14\hspace{40}\)e)\(15\)
Não possuo a solução.
att.
amadeu
28 abr 2013, 21:19
Não tenho muito tempo pelo que só vou dar uma dica:
Sendo \(x\) e \(y\) inteiro positivos temos que \(x^3-y^3=xy+61>0\) implica que \(x>y>0\). Assim \(xy+61=x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\geq x^2+xy+y^2\) logo \(x^2+y^2\leq 61\) pelo que \(x<\sqrt{61}\) logo \(1\leq y<x\leq 7\).
Agora é só estudar um nº finito de casos. Pode ser mais fácil considerar cada caso x-y=1 ou 2 ou 3 (é possível excluir os casos \(x-y\geq 4\) uma vez que \(x^3=y^3+xy+61>61\Rightarrow x\geq 4\) e \(x-y\geq 4\Rightarrow 4x^2+4y^2\leq 61\Rightarrow x\leq 3\)).