Polinômios: x⁸ + 3x⁴ - 4

[danjr5]

Bom dia a todos!
Encontrei uma questão bem interessante, e gostaria de compartilhá-la com os colegas. Tentem não olhar a reposta antes de fazê-la!!

\(f_1(x)\), \(f_2(x)\), \(f_3(x)\), \(f_4(x)\) e \(f_5(x)\) são 5 polinômios não constantes com coeficientes inteiros tais que \(f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3(x) \cdot f_4(x) \cdot f_5(x) = x^8 + 3x^4 - 4\). Qual é o valor de \(|f_1(x)| + |f_2(x)| + |f_3(x)| + |f_4(x)| + |f_5(x)|\)?

Spoiler:

10

[danjr5]

Prezados,
somente hoje percebi o equívoco no enunciado da questão!

Feita a retificação, segue,

\(f_1(x)\), \(f_2(x)\), \(f_3(x)\), \(f_4(x)\) e \(f_5(x)\) são 5 polinômios não constantes com coeficientes inteiros tais que \(f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot f_3(x) \cdot f_4(x) \cdot f_5(x) = x^8 + 3x^4 - 4\). Qual é o valor de \(|f_1(1)| + |f_2(1)| + |f_3(1)| + |f_4(1)| + |f_5(1)|\)?

Spoiler:

10

[santhiago]

Designamos o produtos destes 5 polinômios por \(p(x)\) . Tomando-se \(y = x^4\),podemos determinar todas raízes de \(p\) (reais e complexas ) e fatorar o mesmo obtendo

\(p(x) = x^8 + 3x^4 - 4 = (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)(x-1)(x+1)(x^2+1)\) .Daí os polinômios \(f_i\) (1=1,...,5) estarão determinados .