Para quais valores inteiros de a, x²-x+a divide x^(13)+x+90

[thiagestrela]

Olá, pessoal. Gostaria da solução das seguintes questões:

1) Para quais valores inteiros de a, x^2 - x + a divide x^(13) + x + 90 ?

Grato desde já.

[Rui Carpentier]

Uma dica:
Experimente tomar os valores x=0 e x=1. Isso significa que se o polinómio \(x^2-x+a\) divide \(x^{13}+x+90\) então o inteiro \(a\) (=0-0+a=1-1+a) divide os inteiros 90=0+0+90 e 92=1+1+90.
Logo temos que \(a\) só poderá tomar os possíveis valores inteiros -2, -1, 1 ou 2.
Note que ainda não foi demonstrado que qualquer dos quatro valores é possível mas somente que não podem ser outros.
Por exemplo, tomando x=2 verifica-se que \(a\) também não pode ser nem 1 nem -2 pois nem \(3=2^2-2+1\) nem \(0=2^2-2-2\) dividem \(2^{13}+2+90\).

Por enquanto deixo-lhe o resto do raciocínio para acabar.

[thiagestrela]

Pois é Rui, eu encontrei essa solução num livro texto de polinômios que eu tenho. A questão é que essa solução tá pressupondo um fato que eu não consigo demonstrar.
Se x^2-x+a| x^13+x+90, então x^13+x+90 = Q(x)*(x^2-x+a). Agora, quem garante que Q(x) é um polinômio de coeficientes inteiros ? Como é que eu demonstro isso ? Existe algum teorema que garanta isso ?

[Rui Carpentier]

Pois é Rui, eu encontrei essa solução num livro texto de polinômios que eu tenho. A questão é que essa solução tá pressupondo um fato que eu não consigo demonstrar.
Se x^2-x+a| x^13+x+90, então x^13+x+90 = Q(x)*(x^2-x+a). Agora, quem garante que Q(x) é um polinômio de coeficientes inteiros ? Como é que eu demonstro isso ? Existe algum teorema que garanta isso ?

Penso que isso resulta de um lema de Gauss (juntamente com o fato de Z[x] ser um domínio de fatorização única) que diz que se um polinómio de coeficiente inteiros é iredutível em Z[x] então também o é em Q[x].

Aproveito para continuar a resolução observando que fazendo x=-2 se conclui que a não pode ser -1 pois 5=(-2)^2+2-1 não divide (-2)^{13}-2+90. Logo, a só pode ser 2 e é fácil confirmar que x^2-x+2 divide x^{13}+x+90.