Determine o coeficiente de x³³

[danjr5]

Dado o polinômio \(p(x) = \left [ \left ( 1 + x \right ) \left ( 1 + 3x^3 \right ) \left ( 1 + 9x^9 \right ) \left ( 1 + 27x^{27} \right )\right ]^2\), encontre o coeficiente de \(x^{33}\).

Spoiler:

486

[npl]

Parece-me que o coeficiente deveria dar 9*27.

Que é isso do "spoiler"?

Repare-se que os expoentes estão em base 3.
Além disso, parece-me que o termo de grau 33 resulta da multiplicação dos 2 termos \(3*x^3\)(logo o coeficiente é 9) com \(27x^27\) (coeficiente 27) e por quaisquer unidades nos termos restantes.

[danjr5]

Que é isso do "spoiler"?

A resposta!

\(p(x) = \left [ \left ( 1 + x \right ) \left ( 1 + 3x^3 \right ) \left ( 1 + 9x^9 \right ) \left ( 1 + 27x^{27} \right ) \right ]^2\)

\(p(x) = \left ( 1 + x \right )^2 \cdot \left ( 1 + 3x^3 \right )^2 \cdot \left ( 1 + 9x^9 \right )^2 \cdot \left ( 1 + 27x^{27} \right )^2\)

\(p(x) = \left ( 1 + 2x + x^2 \right ) \cdot \left ( 1 + 6x^3 + 9x^6 \right ) \cdot \left ( 1 + 18x^9 + 81x^{18} \right ) \cdot \left ( 1 + 54x^{27} + 729x^{54} \right )\)

\(p(x) = \left ( \fbox{x^0} + 2x + x^2 \right ) \cdot \left ( 1 + 6x^3 + \fbox{9x^6} \right ) \cdot \left ( \fbox{x^0} + 18x^9 + 81x^{18} \right ) \cdot \left ( 1 + \fbox{54x^{27}} + 729x^{54} \right )\)


Multiplicando os termos (que nos dá \(x^{33}\)) em destaque,

\(\\ x^0 \cdot 9x^6 \cdot x^0 \cdot 54x^{27} = \\\\ \fbox{486x^{33}}\)

[npl]

Esqueci-me de fazer o dobro do coeficiente de \(x^27\).

Mas a ideia funciona e está esclarecido, isso é que importa:)
Cumprimentos do outro lado do Atlântico,
NPL.