Determinar equação de polinômio

[ddp1984]

Pessoal,

Será que vocês poderiam me ajudar com o seguinte problema? Eu gostaria de determinar a equação de um polinômo com as seguintes características:

- Uma das raízes deve ser x=-50;
- O ponto máximo deve ser y=5 com x positivo
- Se x=0 então y = 4.3

Eu estou interessado na equação para o intervalo x variando de [-50, 40] e o intervalo y variando de [0, 5]

Desde já agradeço se alguém puder me ajudar com essa solução.

Att.
Douglas

[Sobolev]

Como está a impor 3 condições, podemos pensar em tentar um polinómio de grau 2. Para que p(-50)=0 podemos imediatamente supor que é da forma
\(p(x)=(x+50)(ax+b)\)

Agora, como p(0)=43/10, deveremos ter b = 43/500. Finalmente vamos escolher o valor de a de modo a verificar a última condição... p(x) assim definido tem um único ponto crítico 8zero de p') que é

\(\frac{-25000 a-43}{1000 a}\)

Finalmente, como queremos que o valor do máximo seja 5, devemos ter
\(p\left(\frac{-25000 a-43}{1000 a}\right) = 5 \Leftarrow a = -\frac{50 \left(5 \sqrt{14}-7\right)}{10 \sqrt{14}-57}\)

Chegamos então ao polinómio

\((x+50) \left(\frac{\left(10 \sqrt{14}-57\right)
}{25000}x+\frac{43}{500}\right)\)

que verifica todas as condições pretendidas.