Equação polinomial
07 mar 2014, 01:57
Olá!Essa questão tá me tirando o sono.
Se p,q e r são raízes da equação 8x^3+1001x+2008=0,então o valor da expressão (p+q)^3 +(p+r)^3 +(q+r)^3 é :
a)251 b)751 c)735 d)753
Grato pela ajuda.
Se p,q e r são raízes da equação 8x^3+1001x+2008=0,então o valor da expressão (p+q)^3 +(p+r)^3 +(q+r)^3 é :
a)251 b)751 c)735 d)753
Grato pela ajuda.
Re: Equação polinomial
07 mar 2014, 20:20
Numa equação cúbica a soma das raízes dá o coeficiente de grau 2 que neste caso é zero. Logo p+q=-r, q+r=-p, r+p=-q.
Portanto \((p+q)^3+(q+r)^3+(r+p)^3=-r^3-p^3-q^3\). Sendo p,q e r raízes de \({8x^3+1001x+2008=0}\) também temos \(-8p^3=1001p+2008\), \(-8q^3=1001q+2008\) e \(-8r^3=1001r+2008\). Logo...
Penso que agora já consegue concluir.
Portanto \((p+q)^3+(q+r)^3+(r+p)^3=-r^3-p^3-q^3\). Sendo p,q e r raízes de \({8x^3+1001x+2008=0}\) também temos \(-8p^3=1001p+2008\), \(-8q^3=1001q+2008\) e \(-8r^3=1001r+2008\). Logo...
Penso que agora já consegue concluir.
Re: Equação polinomial [resolvida]
08 mar 2014, 18:40
1° Solução alternativa:
"Pegando carona na resposta do Rui Carpentier :
\((p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3\equiv -p^3-q^3-r^3 \equiv -(p^3+q^3+r^3) \equiv -S_{3}\)
Obs: \(S_{k}\equiv p^k+q^k+r^k\) , isso se chama " Somas de Newton ".Agora Usando o "Teorema de Newton " no polinômio , podemos dizer que:
\(8S_{3}+1001S_{1}+2008S_{0}\equiv 0\)
\(S_{0} \equiv p^0+q^0+r^0 \equiv 3\)
\(S_{1} \equiv p+q+r \equiv -\frac{b}{a} \equiv 0\)
então :
\(8S_{3}+6024\equiv 0\)
\(8S_{3}\equiv -6024\)
\(S_{3} \equiv -753\)
então a resposta é :
\((p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3 \equiv -p^3-q^3-r^3 \equiv -(p^3+q^3+r^3)\equiv -S_{3} \equiv -(-753) \equiv \fbox{\fbox{\fbox{753}}}\)
2° Solução Alternativa :
Sabendo que : \((a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)*(b+c)*(a+c)\)
tome \(a=p+q\) , \(b=p+r\) e \(c=q+r\) , segue que o produto notável fica:
\((2(p+q+r))^3=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(p+q+p+r)*(p+r+q+r)*(p+q+q+r)\)
\(8*(p+q+r)^3=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(p+q+r+p)*(p+q+r+r)*(p+q+r+q)\)
usando a relação de girard: \(p+q+r=-\frac{b}{a}=0\) :
\(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(0+p)*(0+r)*(0+q)\)
\(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3p*q*r\)
pelas relações de girard novamente : \(p*q*r=-\frac{d}{a}=-251\) :
\(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(-251)\)
\(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3-753\)
\((p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3=\fbox{\fbox{\fbox{753}}}\)
"Pegando carona na resposta do Rui Carpentier :
\((p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3\equiv -p^3-q^3-r^3 \equiv -(p^3+q^3+r^3) \equiv -S_{3}\)
Obs: \(S_{k}\equiv p^k+q^k+r^k\) , isso se chama " Somas de Newton ".Agora Usando o "Teorema de Newton " no polinômio , podemos dizer que:
\(8S_{3}+1001S_{1}+2008S_{0}\equiv 0\)
\(S_{0} \equiv p^0+q^0+r^0 \equiv 3\)
\(S_{1} \equiv p+q+r \equiv -\frac{b}{a} \equiv 0\)
então :
\(8S_{3}+6024\equiv 0\)
\(8S_{3}\equiv -6024\)
\(S_{3} \equiv -753\)
então a resposta é :
\((p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3 \equiv -p^3-q^3-r^3 \equiv -(p^3+q^3+r^3)\equiv -S_{3} \equiv -(-753) \equiv \fbox{\fbox{\fbox{753}}}\)
2° Solução Alternativa :
Sabendo que : \((a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)*(b+c)*(a+c)\)
tome \(a=p+q\) , \(b=p+r\) e \(c=q+r\) , segue que o produto notável fica:
\((2(p+q+r))^3=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(p+q+p+r)*(p+r+q+r)*(p+q+q+r)\)
\(8*(p+q+r)^3=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(p+q+r+p)*(p+q+r+r)*(p+q+r+q)\)
usando a relação de girard: \(p+q+r=-\frac{b}{a}=0\) :
\(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(0+p)*(0+r)*(0+q)\)
\(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3p*q*r\)
pelas relações de girard novamente : \(p*q*r=-\frac{d}{a}=-251\) :
\(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3+3(-251)\)
\(0=(p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3-753\)
\((p+q)^3+(p+r)^3+(q+r)^3=\fbox{\fbox{\fbox{753}}}\)