Equação polinomial
17 abr 2014, 17:25
Eae galera,esse é um exercício retirado de uma lista que meu colega do IME recebeu lá dentro,não consegui resolvê-la,espero que alguém possa me ajudar 
Se \(P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\) é um polinômio do quarto grau tal que a,b,c e d são constantes reais.Sabendo que \(p(1)=10,p(2)=20,p(3)30\).Então o valor de
\(\frac{P(12)+P(-8)}{10}\) é igual a:
a)1984 b)1985 c)1986 d)1987 e)1988
Obs.: Eu consegui resolvê-la entretanto queria saber se existe uma maneira mais elegante para se resolver.Vou postar minha resolução.
1°.:Substituí na expressão os valores de 1,2 e 3,caindo em um sistema
2°.:Ao final desse sistema encontrei uma equação diofante \(6a+b=-25\) , determinei \(a=-4,b=-1,c=26,d=-12\)
3°.:Logo P(x) passou a ser ,: \(x^4-4x^3-x^2+26x-12\)
4°.:Depois foi só encontrar P(12) e P(-8) como mostra a questão.
No entanto,dá muita conta,queria saber se existe uma forma mais elegante para esse exercícios
Se \(P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\) é um polinômio do quarto grau tal que a,b,c e d são constantes reais.Sabendo que \(p(1)=10,p(2)=20,p(3)30\).Então o valor de
\(\frac{P(12)+P(-8)}{10}\) é igual a:
a)1984 b)1985 c)1986 d)1987 e)1988
Obs.: Eu consegui resolvê-la entretanto queria saber se existe uma maneira mais elegante para se resolver.Vou postar minha resolução.
1°.:Substituí na expressão os valores de 1,2 e 3,caindo em um sistema
2°.:Ao final desse sistema encontrei uma equação diofante \(6a+b=-25\) , determinei \(a=-4,b=-1,c=26,d=-12\)
3°.:Logo P(x) passou a ser ,: \(x^4-4x^3-x^2+26x-12\)
4°.:Depois foi só encontrar P(12) e P(-8) como mostra a questão.
No entanto,dá muita conta,queria saber se existe uma forma mais elegante para esse exercícios
Re: Equação polinomial
18 abr 2014, 01:48
Boa noite,
Um jeito de simplificar as contas é usar o teorema do resto do D'Alembert ( aquele que foi abandonado na porta da igreja, ainda bebê ... )
Como \(P(1) = 10\) então \(P(1) = 10 \cdot 1\)
Como \(P(2) = 20\) então \(P(2) = 10 \cdot 2\)
Como \(P(3) = 10\) então \(P(3) = 10 \cdot 3\)
(já percebeu onde quero chegar ... P(x) - 10x = 0 para as raízes 1, 2, 3). Então podemos escrever que:
\(P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x+k) + 10x\)
Se assim for, temos:
\(P(12) = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot (12+k) + 120\)
\(P(-8) = (-9) \cdot (-10) \cdot (-11) \cdot (-8+k) -80\)
Agora basta somar os dois e ao final dividir por 10 para chegar à resposta.
Um jeito de simplificar as contas é usar o teorema do resto do D'Alembert ( aquele que foi abandonado na porta da igreja, ainda bebê ... )
Como \(P(1) = 10\) então \(P(1) = 10 \cdot 1\)
Como \(P(2) = 20\) então \(P(2) = 10 \cdot 2\)
Como \(P(3) = 10\) então \(P(3) = 10 \cdot 3\)
(já percebeu onde quero chegar ... P(x) - 10x = 0 para as raízes 1, 2, 3). Então podemos escrever que:
\(P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x+k) + 10x\)
Se assim for, temos:
\(P(12) = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot (12+k) + 120\)
\(P(-8) = (-9) \cdot (-10) \cdot (-11) \cdot (-8+k) -80\)
Agora basta somar os dois e ao final dividir por 10 para chegar à resposta.