Determine o valor de abc pelo resto da divisão de polinômios

[RodrigodeFCunha]

A questão é bem parecida com a deste link, mas não consegui resolver.

Anexos

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[RodrigodeFCunha]

Sistema sem solução?

Anexos

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[Fraol]

Pelas minhas contas o sistema seria:

\(\left\{\begin{matrix} 2a + b = -7 \\ -3a +c = 6 \\ a+b+c = 3 \end{matrix}\right.\)

Que tem solução \(\left{2, -11, 12\right}\).

[RodrigodeFCunha]

1) Como você conseguiu solucionar essa equação que possui o elemento x?
2) Como você conseguiu encontrar três equações?
3) Pelas suas contas, abc seria -264?

[Fraol]

Vamos começar pela divisão de P(x) por D(x), vou tentar representar essa divisão aqui:

\(\begin{matrix} x^3 + ax^2 + bx + c & | & x^2 -2x - 3 \\ -x^3 + 2x^2 + 3x & & x+ (a+2) \\ (a+2)x^2+(b+3)x+c & & \\ -(a+2)x^2 +2(a+2)x -3(a+2)+c & & \\ (2(a+2)+b+3)x -3(a+2) + c & & \\ \end{matrix}\)

Salvo algum erro de digitação, o resto da divisão de P(x) por D(x) é \((2(a+2)+b+3)x -3(a+2) + c\) e vale 0, pois o enunciado diz que P(x) é divisível por D(X).

Daqui saíram as duas primeiras equações:
\(2a+b+7 = 0\)
\(-3a -6 + c = 0\)

a outra você já tinha encontrado.

1) Como você conseguiu solucionar essa equação que possui o elemento x?

Eu não resolvi em x. Como o resto é 0 então, na expressão do resto, o coeficiente de x é 0 e o termo independente também.

[Fraol]

2) Como você conseguiu encontrar três equações?

Já está respondido acima.

3) Pelas suas contas, abc seria -264?

Eu não fiz, mas se você fez então tá certo!

[RodrigodeFCunha]

Vamos começar pela divisão de P(x) por D(x), vou tentar representar essa divisão aqui:

\(\begin{matrix} x^3 + ax^2 + bx + c & | & x^2 -2x - 3 \\ -x^3 + 2x^2 + 3x & & x+ (a+2) \\ (a+2)x^2+(b+3)x+c & & \\ -(a+2)x^2 +2(a+2)x -3(a+2)+c & & \\ (2(a+2)+b+3)x -3(a+2) + c & & \\ \end{matrix}\)

Salvo algum erro de digitação, o resto da divisão de P(x) por D(x) é \((2(a+2)+b+3)x -3(a+2) + c\) e vale 0, pois o enunciado diz que P(x) é divisível por D(X).

Daqui saíram as duas primeiras equações:
\(2a+b+7 = 0\)
\(-3a -6 + c = 0\)

a outra você já tinha encontrado.

1) Como você conseguiu solucionar essa equação que possui o elemento x?

Eu não resolvi em x. Como o resto é 0 então, na expressão do resto, o coeficiente de x é 0 e o termo independente também.

Você só cometeu um pequeno erro de sinal, por isso não estava fechando.

\(\begin{matrix} x^3 + ax^2 + bx + c & | & x^2 -2x - 3 \\ -x^3 + 2x^2 + 3x & & x+ (a+2) \\ (a+2)x^2+(b+3)x+c & & \\ -(a+2)x^2 +2(a+2)x +3(a+2)+c & & \\ (2(a+2)+b+3)x +3(a+2) + c & & \\ \end{matrix}\)

Portanto,
\(\frac{P(x)}{D(x)}=(2a+b+7)x+3a+6+c\)

Assim temos:
\(\left\{\begin{matrix} 2a + b = -7 \\ 3a +c = -6 \\ a+b+c = 3 \end{matrix}\right.\)

Assim sendo:
\(c=6,b=1,a=-4 \therefore abc=-24 (a)\)

Muito obrigado pela ajuda!!!