Encontrar a soma das raízes complexas de uma equação

[Fernando Magalhães]

Dada a equação algébrica de 4º grau e de coeficientes reais, encontre a soma das raízes complexas não reais da equação
\(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = 0\)

[Fernando Magalhães]

Dada a equação algébrica de 4º grau e de coeficientes reais, encontre a soma das raízes complexas não reais da equação
\(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = 0\)

Usei o editor de equações, não sei se corretamente, pois a equação não aparece. Alguém pode me ajudar? Agardeço

[Fraol]

Oi, bom dia,

Você digitou:

Código:

[tex]x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = 0[/tex]

E está correto, mas parece haver um bug no formator. Então se digitar:

Código:

x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}

A visualização ficará assim:

\(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\)

[Fraol]

E quanto à soma das raízes complexas:

A rigor todas as 4 raízes são complexas e a soma poderia ser obtida por Girard: \(S = (-1)^3 \times \frac{a_1}{a_4} = 4\)

Mas imagino que o questionador esteja querendo que separe as raízes reais das estritamente complexas, daí vai a minha sugestão:

Se fatorarmos \(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\) obteremos: \((x^2-x+1)\times(x^2-3x+1)\)

e daí para obter as raízes você pode aplicar a fórmula da equação do 2o. grau em ambos os fatores que encontrará as 4 raízes e poderá responder.

[Fernando Magalhães]

Oi, bom dia,

Você digitou:

Código:

[tex]x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = 0[/tex]

E está correto, mas parece haver um bug no formator. Então se digitar:

Código:

x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}

A visualização ficará assim:

\(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\)

Obrigado. Posso continuar usando dessa forma das próximas vezes? O que é, ou como faço para retirar o bug?

[Fraol]

Obrigado. Posso continuar usando dessa forma das próximas vezes? O que é, ou como faço para retirar o bug?

A forma que encontrei de evitar o tal bug foi usar as {} quando tenho termos simples como a ou 5 ou x, então coloco como {a} ou {5} ou {x} e clico em prever .

Veja que no caso da sua equação a única coisa que fiz foi envolver o 0 final com {}.

[Fernando Magalhães]

E quanto à soma das raízes complexas:

A rigor todas as 4 raízes são complexas e a soma poderia ser obtida por Girard: \(S = (-1)^3 \times \frac{a_1}{a_4} = 4\)

Mas imagino que o questionador esteja querendo que separe as raízes reais das estritamente complexas, daí vai a minha sugestão:

Se fatorarmos \(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\) obteremos: \((x^2-x+1)\times(x^2-3x+1)\)

e daí para obter as raízes você pode aplicar a fórmula da equação do 2o. grau em ambos os fatores que encontrará as 4 raízes e poderá responder.

Caro colaborador, fiquei em dúvida de como fatorar o polinômio dado.
Obrigado

[Fraol]

Bom dia,

Caro colaborador, fiquei em dúvida de como fatorar o polinômio dado.

É, eu também fico em dúvida, na maior parte das vezes.

Não sei se há uma técnica especial para isso. Deve existir, como não conheço, uso o seguinte método:

Para fatorar \(x^{4} - 4x^{3} + 5x^{2} - 4x + 1 = {0}\) em dois fatores:

Verifico o termo de maior grau e o de menor grau. No nosso caso \(x^4 = x^2 \cdot x^2\) e \(1 = 1 \cdot 1\) respectivamente, então abro o produto de dois fatores assim:

\((x^2 \left ( ... \right ) +1)\cdot(x^2 \left ( ... \right )+1)\)

com isso eu tenho uma possível parte da fatoração. Agora eu olho para o termo grau 1, no nosso caso aí em cima, eu devo obter \(-4x\) quando multiplicar pelo da esquerda e pelo 1 da direita. Um candidato seria \(-2x\), mas não deu certo, então eu tentei \(-x\) e \(-3x\), assim:

\((x^2 -x +1)\cdot(x^2 -3x +1)\)

E, por sorte, ficou tudo beleza!

Basicamente eu suponho (chuto) e verifico se é consistente. A prática vai ajudando a escolher melhor os caminhos. Muitas vezes fico enrolado - aí parto para outras alternativas como verificar algumas raízes possíveis, etc...