Equação envolvendo coeficientes trigonométricos e algumas relações com as raízes.
08 dez 2014, 00:18
Alguém pode me ajudar?
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Re: Equação envolvendo coeficientes trigonométricos e algumas relações com as raízes.
08 dez 2014, 23:55
Olá Luiza Harab!
A solução que me deu foi \(\frac{\pi}{6}\), agora não tenho muito tempo para explicar como cheguei lá.
Vou por aqui uma breve explicação se não perceber, diz, que eu tento detalhar mais um pouco.
Primeiro teremos que resolver a segunda equação que dá \(r=e^{j(\frac{\pi}{6}+\frac{k \cdot \pi}{3})\) em que k varia entre 0 e 5 para o resultado dar certo com as soluções,a solução que queremos será o \(r=\frac{\pi}{6}\).
Aqui uma coisas que não está bem especificada é o facto de \(\alpha\) ser o argumento número \(x\).
Assim sendo, substituindo o \(x\) por \(e^{j\frac{\pi}{6}}\) e \(\alpha\) por \(\frac{\pi}{6}\), podemos confirmar que a primeira equação é verdadeira.
Cumprimentos,
Eduardo Fernandes
A solução que me deu foi \(\frac{\pi}{6}\), agora não tenho muito tempo para explicar como cheguei lá.
Vou por aqui uma breve explicação se não perceber, diz, que eu tento detalhar mais um pouco.
Primeiro teremos que resolver a segunda equação que dá \(r=e^{j(\frac{\pi}{6}+\frac{k \cdot \pi}{3})\) em que k varia entre 0 e 5 para o resultado dar certo com as soluções,a solução que queremos será o \(r=\frac{\pi}{6}\).
Aqui uma coisas que não está bem especificada é o facto de \(\alpha\) ser o argumento número \(x\).
Assim sendo, substituindo o \(x\) por \(e^{j\frac{\pi}{6}}\) e \(\alpha\) por \(\frac{\pi}{6}\), podemos confirmar que a primeira equação é verdadeira.
Cumprimentos,
Eduardo Fernandes
Re: Equação envolvendo coeficientes trigonométricos e algumas relações com as raízes.
09 dez 2014, 00:42
Quando tiver mais tempo, gostaria que destrinchasse mais o que pensou. Não consegui ente der muito bem
Obrigada
Obrigada
Re: Equação envolvendo coeficientes trigonométricos e algumas relações com as raízes.
09 dez 2014, 02:02
r^6 + 1/r^6 = 2 ----> (r^6)² - 2*(r^6) + 1 = 0 ----> (r^6 - 1)² = 0 ----> r = ±1
r^12 - 2r^6 + 1 = (r - 1)²*(r + 1)²*(r^8 + 2r^6 + 3*r^4 + 2*r^2 + 1) = 0
Repare que o último termo da fatoração acima só admite raízes complexas. Logo, as únicas raízes reais são r = ± 1.
x² - (2 cos α)*x + 1 = 0
∆ = b² - 4ac ----> D = (-2 cos α)² - 4*1*1 ----> D = 4 (cos² α) - 4 ----> D = 4 (cos² α - 1)
cos² α = 1 ----> Existe raiz real somente se cos² α = 1 <----> D = 0
x = (2 cos α + - 0)/(2)(1) -----> x' = x" = cos α
cos α = 1 ou cos α = -1 <----> α = n*pi
Não consegui sair daqui mas talvez te ajude em algo também.
Abraço
r^12 - 2r^6 + 1 = (r - 1)²*(r + 1)²*(r^8 + 2r^6 + 3*r^4 + 2*r^2 + 1) = 0
Repare que o último termo da fatoração acima só admite raízes complexas. Logo, as únicas raízes reais são r = ± 1.
x² - (2 cos α)*x + 1 = 0
∆ = b² - 4ac ----> D = (-2 cos α)² - 4*1*1 ----> D = 4 (cos² α) - 4 ----> D = 4 (cos² α - 1)
cos² α = 1 ----> Existe raiz real somente se cos² α = 1 <----> D = 0
x = (2 cos α + - 0)/(2)(1) -----> x' = x" = cos α
cos α = 1 ou cos α = -1 <----> α = n*pi
Não consegui sair daqui mas talvez te ajude em algo também.
Abraço
Re: Equação envolvendo coeficientes trigonométricos e algumas relações com as raízes.
09 dez 2014, 13:09
Olhando para a segunda equação, vê que se \(r \ne 0\)
\(r^6 + 1/r^6 = 2 \Leftrightarrow r^{12} + 1 = 2r^6 \Leftrightarrow (r^6-1)^2 = 0\)
Daí a conclusão do Eduardo Fernandes, de que r deve ser uma das raízes índice 6 da unidade, isto é
\(r = e^{i(\frac{0+2 k\pi)}{6}} = \cos(\frac{k\pi}{3}) + i \sin (\frac{k\pi}{3}),\quad k=0,\cdots, 5\).
Por outro lado, resolvendo directamente a equação inicial,
\(x^2 - 2 \cos\alpha x +1 =\mathrm{0}\Leftrightarrow x = \frac{2 \cos \alpha \pm \sqrt{4 \cos^2 \alpha -4}}{2} = \cos \alpha \pm |\sin \alpha| i\)
Comparando os dois resultados, vemos que podemos escolher para \(\alpha\) o argumento de qualquer uma das raízes índice seis da unidade. Dentro das hipóteses disponíveis, seria \(\alpha = \frac{5 \pi}{3}\).
\(r^6 + 1/r^6 = 2 \Leftrightarrow r^{12} + 1 = 2r^6 \Leftrightarrow (r^6-1)^2 = 0\)
Daí a conclusão do Eduardo Fernandes, de que r deve ser uma das raízes índice 6 da unidade, isto é
\(r = e^{i(\frac{0+2 k\pi)}{6}} = \cos(\frac{k\pi}{3}) + i \sin (\frac{k\pi}{3}),\quad k=0,\cdots, 5\).
Por outro lado, resolvendo directamente a equação inicial,
\(x^2 - 2 \cos\alpha x +1 =\mathrm{0}\Leftrightarrow x = \frac{2 \cos \alpha \pm \sqrt{4 \cos^2 \alpha -4}}{2} = \cos \alpha \pm |\sin \alpha| i\)
Comparando os dois resultados, vemos que podemos escolher para \(\alpha\) o argumento de qualquer uma das raízes índice seis da unidade. Dentro das hipóteses disponíveis, seria \(\alpha = \frac{5 \pi}{3}\).