polinômio maximo e minimo relativos

[alanzito]

O polinômio cúbico f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tem ponto de máximo e ponto de mínimo relativos se, e somente se

resposta: b² - 3ac diferente de 0

alguém pode me ajudar como chegar nesse resultado?

[Baltuilhe]

Bom dia!

Para um função ter pontos críticos precisa ter pontos onde a derivada não exista ou onde a derivada valha zero. Derivando a função dada e igualando a zero teremos:
\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f'(x)=0
3ax^2+2bx+c=0
\Delta=(2b)^2-4(3a)(c)=4b^2-12ac
4b^2-12ac> 0
b^2-3ac>0\)

O discriminante delta tem que ser maior do que zero de forma a obtermos duas raízes reais, assim teremos pontos de máximo e mínimo para esta equação cúbica.

Espero ter ajudado!