O número de soluções da equação sen2x=senx , no intervalo 0 ≤ x<2π

[moraes90]

O número de soluções da equação sen2x=senx , no intervalo 0 ≤ x<2π
Se puder explicar cada passo, por favor, eu agradeço...

GABARITO: 4

[GrangerObliviate]

Olá morais90!

1º passo = Vamos desenvolver a equação

\(sen(2x)=sen(x)\)

é equivalente às duas equações

\(2x = x + 2k\pi\)

e

\(2x = \pi - x + 2k\pi\)

sendo k um número inteiro

2º passo = Resolver cada uma das equações em ordem a x

Obténs as equações:

\(x = 2k\pi\)
\(x=\frac{\pi }3{} + \frac{2}3{}k\pi\)


3º passo = Dando valores inteiros ao k descobrimos quais as soluções da equação tendo em conta que 0 ≤ x<2π

Fazendo k = 0
1ª equação: 0 (pertence ao intervalo)
2ª equação: π/3 (pertence ao intervalo)

Fazendo k = 1
1ª equação: 2π (NÃO pertence ao intervalo = não faz sentido dar valores superiores ao k nesta equação)
2ª equação: π (pertence ao intervalo)

Fazendo k = 2
2ª equação: 5π/3 (pertence ao intervalo)

Fazendo k=3
2ª equação: 7π/3 (NÃO pertence ao intervalo = não faz sentido dar valores superiores ao k nesta equação)

Fazendo k= -1
1ª equação: -2π (NÃO pertence ao intervalo = não faz sentido dar valores inferiores ao k nesta equação)
2ª equação: -π/3 (NÃO pertence ao intervalo = não faz sentido dar valores inferiores ao k nesta equação)

4ª passo = Concluímos então que a equação possui 4 soluções.

Alguma dúvida diz

[danpoi]

Ola Bom dia
\(\sin{2x} = \sin{x}\). Pasar pelo argumento simple
\(2\sin{x}\cos{x} = sin{x}\) de onde \(\sin{x}=0\)
e \(x = 2k\pi\)
A otra soluçao é \(2\cos{x} =1\) de onde \(\cos{x} = \dfrac{1}{2}\) e \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\)
As soluçoes são \(x =0\) e \(x = \dfrac{\pi}{3} = 120^\circ\)
As duas soluçoes estan no dominio \(0\leq x < 2\pi\)

Pra verificar \(\sin{120^\circ = \sin{\60^\circ}}\)