Mostre que f(x) = x^2+bx+c ∈ R[x] é irredutível se, e somente se, b^2 − 4c < 0.

[NiGoRi]

Pessoal. Tudo bem?

Ao tentar resolver alguns exercícios em casa, me deparei com essa questão que não estou conseguindo resolver.
Gostaria de saber se vocês podem me ajudar.

Mostre que \(f(x)=x^{2}+bx+c \in \mathbb{R}[x]\) é irredutível se, e somente se, \(b^{2}-4c< 0\).


NiGoRi

[Rui Carpentier]

Um polinómio real \(f(x)\in \mathbb{R}[x]\) quadrático (i.e. de grau 2) é irredutível se e só se não tiver zeros:
Se \(f(x)\) tiver um zero \(z_0\) então \(x-z_0\) divide \(f(x)\), logo \(f(x)\) não é irredutível.
Por outro lado, se \(f(x)\) não for irredutível então divide-se em dois polinómios de grau um que têm necessariamente zeros que serão também zeros de \(f(x)\).

Tendo isto em mente, \(f(x)=x^2+bx+c\) é irredutível (aka não tem zeros) se e só se o discriminante \(b^2-4c\) for negativo.

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Note-se que \(f(x)=x^2+bx+c=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2-4c}{4}=0 \Rightarrow b^2-4c = 4\left(x+\frac{b}{2}\right)^2\geq 0\)