Divisão de polinômios

[LkN]

Dividindo f(x) = -4x³-6x²-6x+1 por g(x).Obtemos o quociente q(x) = 2x+3 e o resto r(x) = -8x-2.
a) Qual é o gral de g(x)?
b) Obtenha a expressão do polinômio g(x).
A questão (a) eu consegui resolver, mas a (b) não.

[danjr5]

\(f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)\)

\(- 4x^3 - 6x^2 - 6x + 1 = g(x) \cdot (2x + 3) + (- 8x - 2)\)

\(g(x)\) é de grau dois, então \(g(x) = ax^2 + bx + c\)

Segue que

\(- 4x^3 - 6x^2 - 6x + 1 = (ax^2 + bx + c) \cdot (2x + 3) - 8x - 2\)

\(- 4x^3 - 6x^2 - 6x + 1 = 2ax^3 + 3ax^2 + 2bx^2 + 3bx + 2cx + 3c - 8x - 2\)

\(- 4x^3 - 6x^2 - 6x + 1 = 2ax^3 + (3a + 2b)x^2 + (3b + 2c - 8)x + (3c - 2)\)

Temos quatro equações, veja:

I) 2a = - 4

II) 3a + 2b = - 6

III) 3b + 2c - 8 = - 6

IV) 3c - 2 = 1

Resolvendo o sistema, encontrará \(\fbox{a = - 2}\), \(\fbox{b = 0}\) e \(\fbox{c = 1}\).

Portanto,
\(\fbox{\fbox{g(x) = - 2x^2 + 1}}\)