Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

1-Quantas e quais são as raízes de f(x)?
2- Qual é o grau de f(x)?
3-Com base nos valores das raízes extraídas do gráfico de f(x), determine f(x).
4-Qual é o valor de máximo e o valor de mínimo que f(x) apresenta entre as
suas raízes?
5-Faça o estudo dos sinais para a f(x) e especifique-os através de intervalos
numéricos.

alguém poderia me ajudar

a) As raízes de uma função y=f(x), são os valores de x tais que f(x)=0. Graficamente falando, isso significa os pontos em que o gráfico da função corta o eixo x. Podemos observar que isto acontece para x=-2, x=1 e x=4.

b) Como a função possui 3 raízes reais distintas, ela possui grau pelo menos 3. Podemos observar também que todas as raízes possuem multiplicidade 1, então caso ela não tenha raízes complexas, deve ter grau 3.

c) Podemos escrever funções polinomiais de acordo com suas raízes da seguinte forma:
\(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})\), onde xi representam as raízes da função.

Como a função tem 3 raízes de multiplicidade 1, temos:
\(f(x)=a(x-(-2))(x-1)(x-4)=a(x+2)(x-1)(x-4)\)

Para descobrirmos o valor do coeficiente a, utilizamos um ponto da função diferente das raízes, como (-1,10) [é possível observar no gráfico que f(-1)=10]
E então, temos:
\(10=f(-1)=a(-1+2)(-1-1)(-1-4)=a(1)(-2)(-5)=10a \Rightarrow 10a=10\Rightarrow a=1\)

Assim, a função deste gráfico é dada por: \(f(x)=(x+2)(x-1)(x-4)=x^{3}-3x^{2}-6x+8\)

d) A única saída que eu pensei neste item, foi calcular a derivada da função e encontrar os valores de x para os quais a derivada é nula (são os pontos críticos da função, neste caso serão o máximo local e mínimo local).
\(f'(x)=(x^{3}-3x^{2}-6x+8)'=3x^{2}-6x-6\)
Igualando a derivada a zero:
\(3x^{2}-6x-6=0\)
\(\Delta=(-6)^{2}-4\cdot 3\cdot (-6)=36+72=108\)
\(x=\frac{6\pm \sqrt{108}}{6}=\frac{6\pm 6\sqrt{3}}{6}=1\pm \sqrt{3}\)

Então temos que \(x=1-\sqrt{3}\) e \(x=1+\sqrt3\)

E os valores da função nesses pontos são:

\(f(1-\sqrt{3})=(1-\sqrt{3})^{3}-3(1-\sqrt{3})^{2}-6(1-\sqrt{3})+8\approx 10,392\)

\(f(1+\sqrt{3})=(1+\sqrt{3})^{3}-3(1+\sqrt{3})^{2}-6(1+\sqrt{3})+8\approx -10,392\)

e) O estudo do sinal é analisar os intervalos dos valores de x para os quais a função tem valor positivo ou negativo.
Pelo gráfico é fácil observar isso, basta olhar quando o gráfico está abaixo ou acima do eixo x.
Então temos:

\(\begin{cases} f(x)<0 & \text{ se } x<-2 {ou} 1<x<4\\ f(x)>0 & \text{ se } -2<x<1 {ou}x>4 \end{cases}\)

muito obrigado. otavio.dn

Apesar de se perceber perfeitamente quais são as respostas pretendidas por quem fez o enunciado, o mesmo carece de rigor matemático... Por exemplo, não há como determinar o grau do polinómio a partir do gráfico num intervalo limitado, podemos obter polinómios de grau arbitrariamente grande, com gráficos semelhantes ao apresentado. Do mesmo modo, só se pode dizer alguma coisa sobre as raizes de f no intervalo [-3,5].

Sobolev, eu não poderia dizer pela análise do gráfico que o mínimo da função e o máximo da função no intervalo dado, estaria nas abscissas -3 e 5 e suas imagens correspondentes -28 e 28?