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| Produtos notáveis e fatoração (aplicação) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=12540 |
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| Autor: | Rhuan [ 03 abr 2017, 03:57 ] |
| Título da Pergunta: | Produtos notáveis e fatoração (aplicação) |
O equivalente de: \((a +b + c)^{4} + a^{4} + b^{4} + c{4} - (a + b)^{4} - (b + c)^{4} - (a + c)^{4}\) é Resposta: 12abc(a + b + c) Alguém ? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 03 abr 2017, 14:48 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Produtos notáveis e fatoração (aplicação) |
A maneira mais simples, mas também mais trabalhosa, é desenvolver o polinómio a três variáveis \(p(a,b,c)=(a +b + c)^{4} + a^{4} + b^{4} + c{4} - (a + b)^{4} - (b + c)^{4} - (a + c)^{4}\) na sua forma canónica: \(p(a,b,c)=\sum_{i,j,k\ge 0}\alpha_{i,j,k}a^ib^jc^k\). Para tal, pode usar o binómio de Newton e o teorema multinomial ou simplesmente use a propriedade distribuitiva (a potência é 4 pelo que as contas estão dentro dos limites humanos). Depois há que eliminar os termos que se cancelam e verificar que o resultado final é o pretendido. No entanto, é possível ir por um atalho. O polinómio em questão é simétrico (i.e. podemos trocar a por b ou b por c sem alterar o resultado) e homogéneo de grau 4 (i.e. \(p(ka,kb,kc)=k^4p(a,b,c)\)). Além disso é fácil ver (exercício) que \(p(a,b,0)=0\) (logo por simetria \(p(a,0,c)=p(0,b,c)=0\)). Isto significa que abc é fator de p(a,b,c). Portanto \(p(a,b,c)=\lambda abc(a+b+c)\) (note que p é simétrico e homogéneo). Facilmente se calcula \(\lambda\) fazendo a=b=c (exercício). |
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