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Sistema de equações com x,y,z https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=13532 |
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Autor: | Arin [ 21 dez 2017, 12:09 ] |
Título da Pergunta: | Sistema de equações com x,y,z |
Encontrar o maior valor real que pode ser atribuído a \(z\) para que o próximo sistema, composto por duas equações, admita soluções reais: \(x+y+z=10\), \(xy+yz+zx=12\) |
Autor: | Baltuilhe [ 21 dez 2017, 16:27 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sistema de equações com x,y,z |
Boa tarde! Sistema: \(\left\{\begin{matrix}x+y+z=10\\xy+yz+zx=12\end{matrix}\) Para resolver irei 'elevar' ao quadrado a primeira equação. Então: \((x+y+z)^2=10^2 x^2+y^2+z^2+2\overbrace{(xy+xz+yz)}^{12}=100 x^2+y^2+z^2+2(12)=100 x^2+y^2+z^2=100-24 \fbox{x^2+y^2+z^2=76}\) Agora, deixemos essa última equação em função de z, somente: \(x^2+y^2=76-z^2\) Para que essa equação esteja no universo dos Reais, a soma de \(x^2+y^2\) terá que ser maior ou igual a zero, tendo em vista que números elevados ao quadrado não ficam negativos. Então: \(76-z^2>=0 -z^2>=-76 z^2<=76 -\sqrt{76}<=z<=\sqrt{76} -2\sqrt{19}<=z<=2\sqrt{19}\) Espero ter ajudado! |
Autor: | Arin [ 21 dez 2017, 18:57 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sistema de equações com x,y,z |
Obrigada,mas meu livro diz que a resposta é \(26/3\) por quê? |
Autor: | Baltuilhe [ 21 dez 2017, 20:21 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sistema de equações com x,y,z |
Boa tarde! Simples! Pq eu fiz errado! Da primeira equação vou 'isolar' x e y: \(x+y=10-z\) Da segunda equação também vou fazer o mesmo, mas isolando o produto xy; \(xy+z(x+y)=12 xy=12-z(x+y) xy=12-z(10-z) xy=12-10z+z^2\) Agora vamos pensar em termos de equação do segundo grau. A soma e produto de suas raízes. Se x e y forem essas raízes, podemos utilizar a equação: \(t^2-Sx+P=0\) Onde S=x+y e P=xy. Então: \(t^2-(10-z)t+(12-10z+z^2)=0 t^2+(z-10)t+(z^2-10z+12)=0\) Bom, para uma equação do segundo grau possuir raízes reais o discriminante \(\Delta\) deve ser maior ou igual a zero. Então: \(\Delta>=0 (z-10)^2-4(1)(z^2-10z+12)>=0 z^2-20z+100-4z^2+40z-48>=0 -3z^2+20z+52>=0 3z^2-20z-52<=0\) Resolvendo, irá encontrar dois valores: \(z=-2 z=\dfrac{26}{3}\) Este, o último, será o maior valor que a equação inicial poderá ter de forma a possuir valores reais. Vou deixar minha 'solução' errada para algum colega ver e me apontar o erro. De bate-pronto, parecia a solução correta! Abraços! Espero ter ajudado! |
Autor: | Arin [ 21 dez 2017, 22:36 ] |
Título da Pergunta: | Re: Sistema de equações com x,y,z |
Agora volte. Obrigada pela explicação. |
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