Boa tarde!
Simples! Pq eu fiz errado!
Da primeira equação vou 'isolar' x e y:
\(x+y=10-z\)
Da segunda equação também vou fazer o mesmo, mas isolando o produto xy;
\(xy+z(x+y)=12
xy=12-z(x+y)
xy=12-z(10-z)
xy=12-10z+z^2\)
Agora vamos pensar em termos de equação do segundo grau. A soma e produto de suas raízes.
Se x e y forem essas raízes, podemos utilizar a equação:
\(t^2-Sx+P=0\)
Onde S=x+y e P=xy.
Então:
\(t^2-(10-z)t+(12-10z+z^2)=0
t^2+(z-10)t+(z^2-10z+12)=0\)
Bom, para uma equação do segundo grau possuir raízes reais o discriminante \(\Delta\) deve ser maior ou igual a zero. Então:
\(\Delta>=0
(z-10)^2-4(1)(z^2-10z+12)>=0
z^2-20z+100-4z^2+40z-48>=0
-3z^2+20z+52>=0
3z^2-20z-52<=0\)
Resolvendo, irá encontrar dois valores:
\(z=-2
z=\dfrac{26}{3}\)
Este, o último, será o maior valor que a equação inicial poderá ter de forma a possuir valores reais.
Vou deixar minha 'solução' errada para algum colega ver e me apontar o erro. De bate-pronto, parecia a solução correta!
Abraços!
Espero ter ajudado!