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Clacular Raiz de Polinomios incompletos grau 4 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=13553 |
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Autor: | fernando.leal [ 06 jan 2018, 15:17 ] |
Título da Pergunta: | Clacular Raiz de Polinomios incompletos grau 4 |
Como se encontram as raízes do polinômio 3x⁴-4x³-12x²+8? |
Autor: | jorgeluis [ 06 jan 2018, 20:30 ] |
Título da Pergunta: | Re: Clacular Raiz de Polinomios incompletos grau 4 |
Fernando, acredito que algo esteja errado com o polinômio em questão, pois, uma propriedade dos polinômios diz que o termo independente é múltiplo de pelo menos uma das raízes, mas, já verifiquei as raízes possíveis pelos divisores racionais de 8 e 3, e nenhum é raiz deste polinômio: \(P(x)=3x^4-4x^3-12x^2+8\) uma hipótese é aceitar que: \(R(x)=8x\) daí verifica-se que: \(P(x)=D(x).Q(x)+R(x) P(x)=x^2.(3x^2-4x-12)+8x\) \(D(x)=x^2 x=0\) \(Q(x)=3x^2-4x-12 x=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{3}\) \(R(x)=8x x=0\) Solução hipotética: \(S=\left \{ 0,0,\frac{2-2\sqrt{5}}{3},\frac{2+2\sqrt{5}}{3} \right \}\) |
Autor: | Baltuilhe [ 08 jan 2018, 03:12 ] |
Título da Pergunta: | Re: Clacular Raiz de Polinomios incompletos grau 4 |
Boa noite! Para os colegas Fernando e JorgeLuis, há um método chamado método de ferrari que calcula raízes de equações de quarto grau. Acredite, não é um método trivial. Pelo WolframAlpha há 4 raízes: 2 reais e 2 complexas (complexos conjugados). As raízes reais são (aproximadamente) 0,77563 e 2,68252 e as raízes complexas são -1,06377-0,38569i e -1,06377+0,38569i. Para obter essas raízes o trabalho é 'hercúleo'. Vou anexas as raízes exatas (também obtidas pelo WolframAlpha) aqui. Anexo: Wolfram-Alpha-Raízes.png [ 39.91 KiB | Visualizado 4424 vezes ] Agora poderia mostrar um método para obter as raízes chamado método de Newton-Raphson. É um método iterativo para obter raízes aproximadas. Serve não só para equações do 3 e 4 graus mas também para toda e qualquer equação (derivável). A função é \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+8\) Sua derivada é \(f'(x)=12x^3-12x^2-24x\) A função iterativa: \(\phi(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}\\\phi(x)=x-\dfrac{3x^4-4x^3-12x^2+8}{12x^3-12x^2-24x}\) A tabela abaixo tem os valores das iterações para obtermos as duas raízes: A primeira raiz: \(\begin{tabular}{c|c|c|c|c} n&x&f(x)&f'(x)&\phi(x)\\ \hline 0&1,00000000&-5,00000000&-24,00000000&0,79166667\\ 1&0,79166667&-0,32710323&-20,56684028&0,77576227\\ 2&0,77576227&-0,00260677&-20,23766873&0,77563346\\ 3&0,77563346&-0,00000017&-20,23496953&0,77563345\\ 4&0,77563345&0,00000000&-20,23496935&0,77563345 \end{tabular}\) A segunda raiz: \(\begin{tabular}{c|c|c|c|c} n&x&f(x)&f'(x)&\phi(x)\\ \hline 0&3,00000000&35,00000000&144,00000000&2,75694444\\ 1&2,75694444&6,28565425&94,08232462&2,69013429\\ 2&2,69013429&0,40083256&82,21120001&2,68525865\\ 3&2,68525865&0,00204066&81,37478812&2,68523357\\ 4&2,68523357&0,00000005&81,37049655&2,68523357\\ 5&2,68523357&0,00000000&81,37049644&2,68523357 \end{tabular}\) Bom, espero ter ajudado! |
Autor: | jorgeluis [ 08 jan 2018, 15:36 ] |
Título da Pergunta: | Re: Clacular Raiz de Polinomios incompletos grau 4 |
Baltuilhe, no método Newton-Raphson como faço para obter as raízes imaginárias? o método de ferrari achei mais complexo e traballhoso. |
Autor: | Baltuilhe [ 08 jan 2018, 17:51 ] |
Título da Pergunta: | Re: Clacular Raiz de Polinomios incompletos grau 4 |
Boa tarde! JorgeLuis, há o método de Newton-Bairstow. Confesso que não sei utlizar muito bem. Vou tentar 'melhorar' para aplicar aqui pra você. Caso queira já corrrer atrás, fique à vontade Abraços! |
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