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 Título da Pergunta: Sistema de equações com x,y,z
MensagemEnviado: 21 dez 2017, 12:09 
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Encontrar o maior valor real que pode ser atribuído a \(z\) para que o próximo sistema, composto por duas equações, admita soluções reais: \(x+y+z=10\), \(xy+yz+zx=12\)


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MensagemEnviado: 21 dez 2017, 16:27 
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Boa tarde!

Sistema:
\(\left\{\begin{matrix}x+y+z=10\\xy+yz+zx=12\end{matrix}\)

Para resolver irei 'elevar' ao quadrado a primeira equação. Então:
\((x+y+z)^2=10^2
x^2+y^2+z^2+2\overbrace{(xy+xz+yz)}^{12}=100
x^2+y^2+z^2+2(12)=100
x^2+y^2+z^2=100-24
\fbox{x^2+y^2+z^2=76}\)

Agora, deixemos essa última equação em função de z, somente:
\(x^2+y^2=76-z^2\)

Para que essa equação esteja no universo dos Reais, a soma de \(x^2+y^2\) terá que ser maior ou igual a zero, tendo em vista que números elevados ao quadrado não ficam negativos.
Então:
\(76-z^2>=0
-z^2>=-76
z^2<=76
-\sqrt{76}<=z<=\sqrt{76}
-2\sqrt{19}<=z<=2\sqrt{19}\)

Espero ter ajudado!

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"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles


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MensagemEnviado: 21 dez 2017, 18:57 
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Obrigada,mas meu livro diz que a resposta é
\(26/3\)
por quê? :(


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MensagemEnviado: 21 dez 2017, 20:21 
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Boa tarde!

Simples! Pq eu fiz errado! :)

Da primeira equação vou 'isolar' x e y:
\(x+y=10-z\)

Da segunda equação também vou fazer o mesmo, mas isolando o produto xy;
\(xy+z(x+y)=12
xy=12-z(x+y)
xy=12-z(10-z)
xy=12-10z+z^2\)

Agora vamos pensar em termos de equação do segundo grau. A soma e produto de suas raízes.
Se x e y forem essas raízes, podemos utilizar a equação:
\(t^2-Sx+P=0\)

Onde S=x+y e P=xy.

Então:
\(t^2-(10-z)t+(12-10z+z^2)=0
t^2+(z-10)t+(z^2-10z+12)=0\)

Bom, para uma equação do segundo grau possuir raízes reais o discriminante \(\Delta\) deve ser maior ou igual a zero. Então:
\(\Delta>=0
(z-10)^2-4(1)(z^2-10z+12)>=0
z^2-20z+100-4z^2+40z-48>=0
-3z^2+20z+52>=0
3z^2-20z-52<=0\)

Resolvendo, irá encontrar dois valores:
\(z=-2
z=\dfrac{26}{3}\)

Este, o último, será o maior valor que a equação inicial poderá ter de forma a possuir valores reais.

Vou deixar minha 'solução' errada para algum colega ver e me apontar o erro. De bate-pronto, parecia a solução correta!

Abraços!

Espero ter ajudado!

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MensagemEnviado: 21 dez 2017, 22:36 
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Agora volte. Obrigada pela explicação.
:)


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